Постройте график функции \[ y=\left\{\begin{array}{lll}x^{2}-2 x+2 & \text { при } & x \geq-1, \\ -\frac{2}{x} & \text { при } & x<-1 .\end{array}\right. \] Определите, при каких значениях \( m \) прямая \( y=m \) имеет с графиком ровно одну общую точку.

Для анализа функции определим обе её части. 1. **Первая часть функции**: \( y = x^2 - 2x + 2 \) для \( x \geq -1 \) – это парабола, открывающаяся вверх. Для нахождения минимума найдем вершину параболы. Вершина находится по формуле \( x = -\frac{b}{2a} = 1 \). Подставив значение \( x = 1 \) в функцию: \[ y(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 + 2 = 1. \] Таким образом, минимальное значение первой части функции равно 1, и оно достигается при \( x = 1 \). 2. **Вторая часть функции**: \( y = -\frac{2}{x} \) для \( x < -1 \) – это гипербола, которая имеет асимптоты. Она стремится к бесконечности, когда \( x \) приближается к -1 и стремится к нулю при отрицательных значениях \( x \). На этом интервале функция не может пересекать линию \( y = m \) для \( m \geq 0 \), так как все её значения отрицательные. Теперь определим значения \( m \), при которых прямая \( y = m \) касается графика функции. 1. Для первой части, прямая может касаться параболы только в точке минимума при \( m = 1 \). 2. Для второй части, касание будет возможно, когда функция \( -\frac{2}{x} \) будет равна значению \( m < 0 \) и не будет пересчитываться, что также не дает возможность иметь две пересечения. Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно одну точку касания с графиком функции в двух случаях: - \( m = 1 \) (касание с минимумом первой части) - значения \( m < 0 \) (касание с второй частью) Следовательно: \[ \text{Отвечая на вопрос: } m = 1 \text{ или } m < 0. \]