\( \int _ { 1 } ^ { 3 } ( \sqrt { x ^ { 2 } - 2 x } ) d x \)

Procedamos a analizar la integral   I = ∫₁³ √(x² – 2x) dx. Observa que el radicando se puede factorizar y completar el cuadrado:   x² – 2x = (x – 1)² – 1. Así, podemos escribir   I = ∫₁³ √[(x – 1)² – 1] dx. Si efectuamos el cambio de variable   u = x – 1  ⇒ dx = du, los límites se transforman:   cuando x = 1, u = 0;   cuando x = 3, u = 2. Entonces la integral se transforma en   I = ∫₀² √(u² – 1) du. Sin embargo, atención: la función √(u² – 1) es real únicamente cuando u² – 1 ≥ 0, es decir, cuando |u| ≥ 1. En nuestro intervalo u ∈ [0,2] esto ocurre sólo para u ∈ [1,2]. Para u entre 0 y 1, tenemos u² – 1 < 0 y la raíz toma valores imaginarios (en efecto, se cumple que √(u² – 1) = i√(1 – u²), donde i es la unidad imaginaria). Así, es conveniente dividir la integral en dos tramos:   I = ∫₀¹ √(u² – 1) du + ∫₁² √(u² – 1) du. Para u ∈ [0,1]:   √(u² – 1) = i √(1 – u²). Por lo tanto,   ∫₀¹ √(u² – 1) du = i ∫₀¹ √(1 – u²) du. Pero se conoce que   ∫₀¹ √(1 – u²) du = π/4. Luego, el primer tramo es   i (π/4). Procedamos ahora al tramo real, u ∈ [1,2]: Para evaluar   J = ∫₁² √(u² – 1) du, recordemos que existe una antiderivada estándar:   ∫ √(u² – 1) du = ½ [u √(u² – 1) – ln|u + √(u² – 1)|] + C. Evaluamos en u = 1 y u = 2. • En u = 1:   √(1² – 1) = 0 → u √(u² – 1) = 0,   ln|1 + 0| = ln 1 = 0. Entonces, la contribución en u = 1 es 0. • En u = 2:   √(4 – 1) = √3,   u √(u² – 1) = 2√3,   ln|2 + √3| = ln(2 + √3). Por lo tanto,   J = ½ [2√3 – ln(2 + √3)] – 0 = √3 – (½) ln(2 + √3). Uniendo ambos tramos, se tiene que la integral original es   I = i (π/4) + [√3 – (½) ln(2 + √3)]. Es decir, el resultado es   I = √3 – (½) ln(2 + √3) + i (π/4). Observación importante: el hecho de obtener una parte imaginaria se debe a que el radicando √(x² – 2x) es negativo (y por tanto, la raíz sale imaginaria) en una parte del intervalo de integración, concretamente para x entre 1 y 2 (equivalentemente u entre 0 y 1). Si se desea trabajar sólo con funciones reales, habría que interpretar el integrando como la raíz del valor absoluto o replantear el intervalo de integración. Respuesta final en español:   ∫₁³ √(x² – 2x) dx = √3 – (½) ln(2 + √3) + i (π/4).