a) LEAN ha fonciones $$ \quad f(x)=3 x+2 \quad g(x)=\frac{x+3}{2 x+1} $$ Calcular $$ f \circ g $$ y $$ g \circ f $$

Question

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**Paso 1. Cálculo de $$ f \circ g $$**

Dada la función  
$$
f(x)=3x+2
$$
y  
$$
g(x)=\frac{x+3}{2x+1},
$$
queremos calcular  
$$
f \circ g (x)=f\bigl(g(x)\bigr).
$$

Sustituimos $$ g(x) $$ en $$ f(x) $$:
$$
f\bigl(g(x)\bigr)=3\left(\frac{x+3}{2x+1}\right)+2.
$$

Para simplificar, expresamos el $$2$$ con denominador $$2x+1$$:
$$
2=\frac{2(2x+1)}{2x+1}.
$$

Por lo tanto:
$$
f\bigl(g(x)\bigr)=\frac{3(x+3)}{2x+1}+\frac{2(2x+1)}{2x+1}=\frac{3(x+3)+2(2x+1)}{2x+1}.
$$

Expandimos los términos:
$$
3(x+3)=3x+9 \quad \text{y} \quad 2(2x+1)=4x+2.
$$

Sumamos:
$$
3x+9+4x+2=7x+11.
$$

Así que obtenemos:
$$
f \circ g (x)=\frac{7x+11}{2x+1}.
$$

---

**Paso 2. Cálculo de $$ g \circ f $$**

Utilizamos la función  
$$
g(x)=\frac{x+3}{2x+1},
$$
sustituyendo $$ f(x) $$ en cada aparición de $$ x $$ en $$ g(x) $$. Recordando que  
$$
f(x)=3x+2,
$$
entonces:
$$
g \circ f (x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\frac{(3x+2)+3}{2(3x+2)+1}.
$$

Simplificamos el numerador y el denominador:
$$
(3x+2)+3=3x+5,
$$
$$
2(3x+2)+1=6x+4+1=6x+5.
$$

Por lo tanto:
$$
g \circ f (x)=\frac{3x+5}{6x+5}.
$$

---

**Respuestas Finales**

$$
f \circ g (x)=\frac{7x+11}{2x+1}, \quad g \circ f (x)=\frac{3x+5}{6x+5}.
$$
$$ f \circ g (x) = \frac{7x + 11}{2x + 1} $$ y $$ g \circ f (x) = \frac{3x + 5}{6x + 5} $$.

a) LEAN ha fonciones \( \quad f(x)=3 x+2 \quad g(x)=\frac{x+3}{2 x+1} \) Calcular \( f \circ g \) y \( g \circ f \)

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