a) LEAN ha fonciones \( \quad f(x)=3 x+2 \quad g(x)=\frac{x+3}{2 x+1} \) Calcular \( f \circ g \) y \( g \circ f \)

**Paso 1. Cálculo de \( f \circ g \)** Dada la función \[ f(x)=3x+2 \] y \[ g(x)=\frac{x+3}{2x+1}, \] queremos calcular \[ f \circ g (x)=f\bigl(g(x)\bigr). \] Sustituimos \( g(x) \) en \( f(x) \): \[ f\bigl(g(x)\bigr)=3\left(\frac{x+3}{2x+1}\right)+2. \] Para simplificar, expresamos el \(2\) con denominador \(2x+1\): \[ 2=\frac{2(2x+1)}{2x+1}. \] Por lo tanto: \[ f\bigl(g(x)\bigr)=\frac{3(x+3)}{2x+1}+\frac{2(2x+1)}{2x+1}=\frac{3(x+3)+2(2x+1)}{2x+1}. \] Expandimos los términos: \[ 3(x+3)=3x+9 \quad \text{y} \quad 2(2x+1)=4x+2. \] Sumamos: \[ 3x+9+4x+2=7x+11. \] Así que obtenemos: \[ f \circ g (x)=\frac{7x+11}{2x+1}. \] --- **Paso 2. Cálculo de \( g \circ f \)** Utilizamos la función \[ g(x)=\frac{x+3}{2x+1}, \] sustituyendo \( f(x) \) en cada aparición de \( x \) en \( g(x) \). Recordando que \[ f(x)=3x+2, \] entonces: \[ g \circ f (x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\frac{(3x+2)+3}{2(3x+2)+1}. \] Simplificamos el numerador y el denominador: \[ (3x+2)+3=3x+5, \] \[ 2(3x+2)+1=6x+4+1=6x+5. \] Por lo tanto: \[ g \circ f (x)=\frac{3x+5}{6x+5}. \] --- **Respuestas Finales** \[ f \circ g (x)=\frac{7x+11}{2x+1}, \quad g \circ f (x)=\frac{3x+5}{6x+5}. \]