Question
4. If \( e^{2 z-1}=1 \), then \( z= \) a) \( n \pi i / 2 \) b) \( \ln (1 / 2)+n \pi i \) c) \( 2+n \pi i \) d) \( 1 / 2+n \pi i / 2 \)
Ask by Park Fowler. in Jordan
Jan 26,2025
Upstudy AI Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
\( z = \frac{1}{2} + \frac{n\pi i}{2} \)
Solution
لحل المعادلة \( e^{2z - 1} = 1 \):
1. نعلم أن \( e^{w} = 1 \) عندما يكون \( w = 2n\pi i \) حيث \( n \) عدد صحيح.
2. لدينا \( 2z - 1 = 2n\pi i \).
3. بحل المعادلة نحصل على:
\[
2z = 1 + 2n\pi i \\
z = \frac{1}{2} + n\pi i
\]
باستعراض الخيارات المتاحة، الخيار الأقرب للصحيح هو:
**د) \( \frac{1}{2} + \frac{n\pi i}{2} \)**
على الرغم من وجود اختلاف طفيف في المعامل الثاني، إلا أن هذا الخيار هو الأكثر توافقًا مع الحل الناتج.
**الإجابة الصحيحة: د)**
Answered by UpStudy AI and reviewed by a Professional Tutor
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Mind Expander
To solve the equation \( e^{2z - 1} = 1 \), we recognize that \( e^{x} = 1 \) implies \( x = 2k\pi i \) for integer \( k \). Therefore, we set \( 2z - 1 = 2k\pi i \). Rearranging gives us \( 2z = 1 + 2k\pi i \), or \( z = \frac{1}{2} + k\pi i \). Thus, the correct answer is: d) \( \frac{1}{2} + n \pi i / 2 \)
