21. Sous la surface $$ z=x y $$ et au-dessus du triangle de sommets $$ (1,1),(4,1) $$ et $$ (1,2) $$

Question

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Il semble qu'il y ait une erreur dans la description du problème. Le triangle de sommets $$ (1,1),(4,1) $$ et $$ (1,2) $$ n'est pas un triangle valide car les sommets ne forment pas un triangle.

Pour résoudre ce problème, nous allons supposer que le triangle de sommets $$ (1,1),(4,1) $$ et $$ (1,2) $$ est un triangle valide.

La surface donnée est $$ z = xy $$. Nous devons trouver la surface sous cette surface et au-dessus du triangle.

Pour trouver la surface sous la surface $$ z = xy $$ et au-dessus du triangle, nous devons intégrer la fonction $$ z = xy $$ sur les limites du triangle.

Les limites du triangle sont $$ x = 1 $$, $$ x = 4 $$, $$ y = 1 $$ et $$ y = 2 $$.

L'intégrale à calculer est :

$$ \int_{1}^{4} \int_{1}^{2} xy \, dy \, dx $$

Nous allons calculer cette intégrale étape par étape.
Evaluate the integral by following steps:
- step0: Evaluate using formulas and rules:
  $$\int_{1}^{4} \int_{1}^{2} xy dy dx$$
- step1: Evaluate the inner integral:
  $$\int_{1}^{4} \left(2x-\frac{x}{2}\right) dx$$
- step2: Evaluate the integral:
  $$\int \left(2x-\frac{x}{2}\right) dx$$
- step3: Use properties of integrals:
  $$\int 2x dx+\int -\frac{x}{2} dx$$
- step4: Evaluate the integral:
  $$x^{2}+\int -\frac{x}{2} dx$$
- step5: Evaluate the integral:
  $$x^{2}-\frac{x^{2}}{4}$$
- step6: Return the limits:
  $$\left(x^{2}-\frac{x^{2}}{4}\right)\bigg |_{1}^{4}$$
- step7: Calculate the value:
  $$\frac{45}{4}$$
La surface sous la surface $$ z = xy $$ et au-dessus du triangle de sommets $$ (1,1),(4,1) $$ et $$ (1,2) $$ est de 11.25.
La surface sous la surface $$ z = xy $$ et au-dessus du triangle de sommets $$ (1,1) $$, $$ (4,1) $$, et $$ (1,2) $$ est de 11.25.

21. Sous la surface \( z=x y \) et au-dessus du triangle de sommets \( (1,1),(4,1) \) et \( (1,2) \)

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