En los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales utilizar el método de punto fijo multivariable par aproximar la solución con una tolerancia $$ \left\|\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{x}_{\mathbf{i}-1}\right\|_{2} \leq 10^{-4} $$. Utiliza la representación gráfica par determinar aproximación inicial. $$ \left\{\begin{array}{l}y \cos x+4 x-5=0 \ \ln (x y)+5 y-2=0\end{array}\right. $$ (a)

Question

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Parece que no puedo graficar las funciones directamente. Sin embargo, puedo describir cómo hacerlo y qué buscar en las gráficas.

### Paso 1: Graficar las funciones

1. **Graficar $$y \cos x + 4x - 5 = 0$$**:
   - Esta ecuación representa una relación entre $$x$$ y $$y$$. Puedes graficar $$y$$ en función de $$x$$ para varios valores de $$x$$ en el rango de $$[-2, 2]$$.

2. **Graficar $$\ln(xy) + 5y - 2 = 0$$**:
   - Similarmente, esta ecuación también puede ser graficada para encontrar la relación entre $$x$$ y $$y$$. Puedes graficar $$y$$ en función de $$x$$ para valores de $$x$$ en el rango de $$[0.1, 2]$$.

### Paso 2: Encontrar un punto de intersección

Al graficar ambas funciones, busca un punto donde las dos gráficas se crucen. Este punto de intersección será nuestra aproximación inicial $$(x_0, y_0)$$.

### Paso 3: Método de punto fijo

Una vez que tengas un punto de intersección, puedes usarlo como punto de partida para el método de punto fijo.

1. **Inicializa**:
   - Supongamos que el punto de intersección encontrado es $$(x_0, y_0)$$.

2. **Itera**:
   - Aplica las funciones de punto fijo:
     $$
     x_{i+1} = \frac{5 - 4x_i}{\cos x_i}
     $$
     $$
     y_{i+1} = \frac{2 - \ln(x_iy_i)}{5}
     $$

3. **Condición de parada**:
   - Continúa iterando hasta que $$\left\|\mathbf{x}_{\mathbf{i}} - \mathbf{x}_{\mathbf{i}-1}\right\|_{2} \leq 10^{-4}$$.

### Paso 4: Realizar las iteraciones

Si me proporcionas un punto de inicio $$(x_0, y_0)$$, puedo ayudarte a realizar las iteraciones del método de punto fijo.
Para resolver el sistema de ecuaciones no lineales utilizando el método de punto fijo multivariable con una tolerancia de $$10^{-4}$$, sigue estos pasos: 1. **Representación Gráfica**: - Grafica las ecuaciones $$y \cos x + 4x - 5 = 0$$ y $$\ln(xy) + 5y - 2 = 0$$ para encontrar un punto de intersección, que será la aproximación inicial $$(x_0, y_0)$$. 2. **Aplicar el Método de Punto Fijo**: - Utiliza las funciones de punto fijo: $$ x_{i+1} = \frac{5 - 4x_i}{\cos x_i} $$ $$ y_{i+1} = \frac{2 - \ln(x_iy_i)}{5} $$ - Itera hasta que la diferencia entre las iteraciones consecutivas sea menor o igual a $$10^{-4}$$. 3. **Ejemplo de Iteración**: - Si se proporciona un punto de inicio, realiza las iteraciones para aproximar la solución. **Aproximación Inicial**: - Busca el punto de intersección de las gráficas para obtener $$(x_0, y_0)$$. **Iteraciones**: - Aplica las fórmulas de punto fijo iterativamente hasta alcanzar la tolerancia deseada. **Resultado**: - La solución aproximada será $$(x, y)$$ que cumple con la condición de convergencia. **Nota**: - Si no se proporciona un punto de inicio, es necesario realizar la representación gráfica para determinarlo.

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