En los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales utilizar el método de punto fijo multivariable par aproximar la solución con una tolerancia \( \left\|\mathbf{x}_{\mathbf{i}}-\mathbf{x}_{\mathbf{i}-1}\right\|_{2} \leq 10^{-4} \). Utiliza la representación gráfica par determinar aproximación inicial. \[ \left\{\begin{array}{l}y \cos x+4 x-5=0 \\ \ln (x y)+5 y-2=0\end{array}\right. \] (a)
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The Deep Dive
Para abordar este sistema de ecuaciones no lineales, primero podemos despejar una de las variables en cada ecuación. Por ejemplo, de la primera ecuación podemos expresar \( y \) como \( y = \frac{5 - 4x}{\cos x} \), y de la segunda ecuación, \( y \) también puede ser expresado como \( y = \frac{2 - \ln(xy)}{5} \). Ahora tenemos dos funciones que nos permiten usar el método de punto fijo. Al graficar estas expresiones, podemos identificar un rango adecuado para nuestras aproximaciones iniciales. Para encontrar una aproximación inicial, es útil graficar ambas ecuaciones en el plano \( xy \). Al observar sus intersecciones, podemos elegir un punto cercano a esas ubicaciones. Recuerda que la convergencia de nuestro método depende en gran medida de la elección correcta de este punto inicial porque, si nos alejamos demasiado de la solución, el método podría no funcionar tan eficientemente o incluso divergir.
