(c). \( y^{\prime}=y^{2}+x \quad ; \quad(d) \cdot y^{\prime \prime}+\sin (x) y=e^{x} \) (e) \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+y=0 \)

### (c) \( y' = y^2 + x \) 1. La ecuación es de tipo Riccati, que en forma general se escribe \[ y' = a(x) + b(x)y + c(x)y^2, \] donde en nuestro caso \[ a(x)=x,\quad b(x)=0,\quad c(x)=1. \] 2. Una estrategia estándar para resolver una ecuación de Riccati es conocer una solución particular \( y_1(x) \). Con ella se utiliza el cambio de variable \[ y(x)=y_1(x) + \frac{1}{u(x)}, \] lo que transforma la ecuación original en una ecuación lineal de \( u(x) \). 3. En ausencia de una solución particular explícita o de condiciones iniciales que permitan hallarla, la solución general de esta ecuación no se expresa, en general, en términos de funciones elementales. --- ### (d) \( y'' + \sin(x)\,y = e^{x} \) 1. Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes variables. 2. **Parte homogénea:** Se considera primero la ecuación homogénea \[ y'' + \sin(x)\,y = 0. \] En general, encontrar soluciones elementales para esta ecuación es difícil; la solución se expresa en términos de funciones especiales o por medio de series. 3. **Parte no homogénea:** Una vez obtenida la solución general de la parte homogénea, digamos \[ y_h = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x), \] se puede buscar una solución particular \( y_p \) utilizando, por ejemplo, el método de variación de parámetros. Este método requiere conocer \( y_1(x) \) y \( y_2(x) \). 4. **Conclusión:** Dada la forma de la ecuación (coeficiente \(\sin(x)\) en la parte homogénea y el término \( e^{x} \)), es muy probable que la solución general se exprese en forma de integrales o series, y no en términos de funciones elementales conocidas. --- ### (e) \(\frac{d^2y}{dx^2}+x\,\frac{dy}{dx}+y=0\) 1. Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables. 2. Un método habitual para resolver ecuaciones con coeficientes variables es el **método de series de potencias**. Se asume una solución de la forma \[ y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n. \] 3. Al sustituir la serie en la ecuación se obtiene una relación recurrente para los coeficientes \( a_n \). El procedimiento general es: - Calcular \( y'(x) \) y \( y''(x) \) en términos de la serie. - Sustituir en la ecuación \[ y''(x)+x\,y'(x)+y(x)=0. \] - Igualar a cero el coeficiente de cada potencia de \( x \) para obtener la relación de recurrencia. 4. **Conclusión:** La solución general se obtiene como una serie de potencias cuyo desarrollo dependerá de las condiciones iniciales o de frontera, y normalmente no se reduce a una fórmula en términos de funciones elementales. --- En resumen, para las ecuaciones presentadas: - En (c) la ecuación es del tipo Riccati y requiere una solución particular para transformarla, siendo la solución general, en general, no expresable en forma cerrada. - En (d) la solución se obtiene combinando la solución de la ecuación homogénea (que a su vez se expresa en términos de funciones especiales o series) con una solución particular obtenida, por ejemplo, mediante variación de parámetros. - En (e) se suele resolver mediante el método de series de potencias, ya que la forma de la ecuación no conduce a soluciones elementales conocidas. Cada uno de estos problemas ilustra métodos y técnicas importantes en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables o no lineales.