(c). $$ y^{\prime}=y^{2}+x \quad ; \quad(d) \cdot y^{\prime \prime}+\sin (x) y=e^{x} $$ (e) $$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+y=0 $$

Question

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### (c) $$ y' = y^2 + x $$

1. La ecuación es de tipo Riccati, que en forma general se escribe  
   $$
   y' = a(x) + b(x)y + c(x)y^2,
   $$
   donde en nuestro caso  
   $$
   a(x)=x,\quad b(x)=0,\quad c(x)=1.
   $$

2. Una estrategia estándar para resolver una ecuación de Riccati es conocer una solución particular $$ y_1(x) $$. Con ella se utiliza el cambio de variable  
   $$
   y(x)=y_1(x) + \frac{1}{u(x)},
   $$
   lo que transforma la ecuación original en una ecuación lineal de $$ u(x) $$.

3. En ausencia de una solución particular explícita o de condiciones iniciales que permitan hallarla, la solución general de esta ecuación no se expresa, en general, en términos de funciones elementales.

---

### (d) $$ y'' + \sin(x)\,y = e^{x} $$

1. Se trata de una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes variables.

2. **Parte homogénea:**  
   Se considera primero la ecuación homogénea  
   $$
   y'' + \sin(x)\,y = 0.
   $$
   En general, encontrar soluciones elementales para esta ecuación es difícil; la solución se expresa en términos de funciones especiales o por medio de series.

3. **Parte no homogénea:**  
   Una vez obtenida la solución general de la parte homogénea, digamos  
   $$
   y_h = C_1\,y_1(x) + C_2\,y_2(x),
   $$
   se puede buscar una solución particular $$ y_p $$ utilizando, por ejemplo, el método de variación de parámetros. Este método requiere conocer $$ y_1(x) $$ y $$ y_2(x) $$.

4. **Conclusión:**  
   Dada la forma de la ecuación (coeficiente $$\sin(x)$$ en la parte homogénea y el término $$ e^{x} $$), es muy probable que la solución general se exprese en forma de integrales o series, y no en términos de funciones elementales conocidas.

---

### (e) $$\frac{d^2y}{dx^2}+x\,\frac{dy}{dx}+y=0$$

1. Esta es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables.

2. Un método habitual para resolver ecuaciones con coeficientes variables es el **método de series de potencias**. Se asume una solución de la forma  
   $$
   y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n.
   $$

3. Al sustituir la serie en la ecuación se obtiene una relación recurrente para los coeficientes $$ a_n $$. El procedimiento general es:
   - Calcular $$ y'(x) $$ y $$ y''(x) $$ en términos de la serie.
   - Sustituir en la ecuación  
     $$
     y''(x)+x\,y'(x)+y(x)=0.
     $$
   - Igualar a cero el coeficiente de cada potencia de $$ x $$ para obtener la relación de recurrencia.

4. **Conclusión:**  
   La solución general se obtiene como una serie de potencias cuyo desarrollo dependerá de las condiciones iniciales o de frontera, y normalmente no se reduce a una fórmula en términos de funciones elementales.

---

En resumen, para las ecuaciones presentadas:

- En (c) la ecuación es del tipo Riccati y requiere una solución particular para transformarla, siendo la solución general, en general, no expresable en forma cerrada.
- En (d) la solución se obtiene combinando la solución de la ecuación homogénea (que a su vez se expresa en términos de funciones especiales o series) con una solución particular obtenida, por ejemplo, mediante variación de parámetros.
- En (e) se suele resolver mediante el método de series de potencias, ya que la forma de la ecuación no conduce a soluciones elementales conocidas.

Cada uno de estos problemas ilustra métodos y técnicas importantes en la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes variables o no lineales.
### (c) $$ y' = y^2 + x $$ - Es una ecuación de Riccati, que no tiene solución general en términos de funciones elementales. --- ### (d) $$ y'' + \sin(x)\,y = e^{x} $$ - Es una ecuación diferencial lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes variables. - La solución general se expresa en términos de series o funciones especiales. --- ### (e) $$\frac{d^2y}{dx^2} + x\,\frac{dy}{dx} + y = 0$$ - Es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes variables. - La solución general se obtiene mediante el método de series de potencias. --- En resumen, las ecuaciones (c), (d), y (e) no tienen soluciones generales expresables en términos de funciones elementales y requieren métodos avanzados como series de potencias o funciones especiales para su resolución.

(c). \( y^{\prime}=y^{2}+x \quad ; \quad(d) \cdot y^{\prime \prime}+\sin (x) y=e^{x} \) (e) \( \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+y=0 \)

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