Question
Hallar la integral indefinida. \[ \int(u+4)(2 u+1) d(u) \]
Ask by Marsh Lindsey. in Colombia
Mar 16,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
La integral indefinida es:
\[
\frac{2u^3}{3} + \frac{9u^2}{2} + 4u + C.
\]
Solution
1. Expandimos el producto de los polinomios:
\[
(u+4)(2u+1) = u\cdot2u + u\cdot1 + 4\cdot2u + 4\cdot1 = 2u^2 + u + 8u + 4 = 2u^2 + 9u + 4.
\]
2. Escribimos la integral con la expresión expandida:
\[
\int (u+4)(2u+1) \, du = \int \left(2u^2 + 9u + 4\right) \, du.
\]
3. Integramos término a término:
\[
\int 2u^2 \, du = 2 \cdot \frac{u^3}{3} = \frac{2u^3}{3},
\]
\[
\int 9u \, du = 9 \cdot \frac{u^2}{2} = \frac{9u^2}{2},
\]
\[
\int 4 \, du = 4u.
\]
4. Sumamos los resultados y añadimos la constante de integración \( C \):
\[
\frac{2u^3}{3} + \frac{9u^2}{2} + 4u + C.
\]
La integral indefinida es:
\[
\int(u+4)(2u+1) \, du = \frac{2u^3}{3} + \frac{9u^2}{2} + 4u + C.
\]
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Para resolver la integral indefinida \(\int(u+4)(2u+1) \, d(u)\), primero expandimos la expresión dentro de la integral: \[(u+4)(2u+1) = u(2u) + u(1) + 4(2u) + 4(1) = 2u^2 + u + 8u + 4 = 2u^2 + 9u + 4.\] Ahora, podemos escribir la integral: \[\int(2u^2 + 9u + 4) \, d(u).\] Procedemos a integrar término a término: 1. \(\int 2u^2 \, d(u) = \frac{2}{3}u^3\), 2. \(\int 9u \, d(u) = \frac{9}{2}u^2\), 3. \(\int 4 \, d(u) = 4u\). Así que sumando todo: \[\int(2u^2 + 9u + 4) \, d(u) = \frac{2}{3}u^3 + \frac{9}{2}u^2 + 4u + C,\] donde \(C\) es la constante de integración. Por lo tanto, la integral indefinida es: \[\frac{2}{3}u^3 + \frac{9}{2}u^2 + 4u + C.\]
