$$ \left. \begin{array} { l } { F ( x ) \left\{ \begin{array} { l } { 12 , x

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { F ( x ) \left\{ \begin{array} { l } { 12 , x < 2 } \ { 3 x ^ { 2 } , x \geq 2 } \end{array} ight.} \ { \int _ { 1 } F ( x ) \cdot d x \geq 0 } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{المسألة:}
$$
لدينا دالة $$ F(x) $$ معرفة على الشكل القطعي:
$$
F(x)=
\begin{cases}
12, & x<2,\[1mm]
3x^2, & x\ge 2.
\end{cases}
$$
ونريد إيجاد الدالة التعريفية $$ G(x)=\int_1^x F(t)\, dt $$ والتأكد من أنها تحقق $$ G(x)\ge 0 $$ لجميع $$ x $$ ذات العلاقة.

---

$$
\textbf{الحالة الأولى: عندما } 1\le x<2.
$$

في هذا المجال تكون $$ F(t)=12 $$ لجميع $$ t $$ بين 1 و$$ x $$، لذا:
$$
G(x)=\int_1^x 12\, dt=12\int_1^x 1\, dt=12(x-1).
$$
ولأن $$ x\ge1 $$ فإن $$ x-1\ge 0 $$ وبالتالي:
$$
G(x)=12(x-1)\ge 0.
$$

---

$$
\textbf{الحالة الثانية: عندما } x\ge 2.
$$

عند $$ x\ge 2 $$ يجب تقسيم التكامل على فترتين حيث تتغير تعريف الدالة:
$$
G(x)=\int_1^2 12\, dt+\int_2^x 3t^2\, dt.
$$
أولاً، نحسب التكامل الأول:
$$
\int_1^2 12\, dt=12(2-1)=12.
$$
ثم نوجد التكامل الثاني:
$$
\int_2^x 3t^2\, dt=3\int_2^x t^2\, dt=3\left[\frac{t^3}{3}\right]_2^x=x^3-8.
$$
بجمع الجزأين نحصل على:
$$
G(x)=12+(x^3-8)=x^3+4.
$$
ومن الواضح أن $$ x^3+4>0 $$ لأي $$ x\ge 2 $$.

---

$$
\textbf{الاستنتاج:}
$$

لقد وجدنا أن:
$$
G(x)=
\begin{cases}
12(x-1), & 1\le x<2,\[1mm]
x^3+4, & x\ge 2,
\end{cases}
$$
وتظهر الحسابات أن:
$$
G(x)\ge 0 \quad \text{لكل } x\ge 1.
$$
$$ G(x) = 12(x - 1) $$ عندما $$ 1 \leq x < 2 $$ و $$ G(x) = x^3 + 4 $$ عندما $$ x \geq 2 $$. في كلتا الحالتين، $$ G(x) \geq 0 $$.

\( \left. \begin{array} { l } { F ( x ) \left\{ \begin{array} { l } { 12 , x < 2 } \\ { 3 x ^ { 2 } , x \geq 2 } \end{array} \right.} \\ { \int _ { 1 } F ( x ) \cdot d x \geq 0 } \end{array} \right. \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions