\( \left. \begin{array} { l } { F ( x ) \left\{ \begin{array} { l } { 12 , x < 2 } \\ { 3 x ^ { 2 } , x \geq 2 } \end{array} \right.} \\ { \int _ { 1 } F ( x ) \cdot d x \geq 0 } \end{array} \right. \)

\[ \textbf{المسألة:} \] لدينا دالة \( F(x) \) معرفة على الشكل القطعي: \[ F(x)= \begin{cases} 12, & x<2,\\[1mm] 3x^2, & x\ge 2. \end{cases} \] ونريد إيجاد الدالة التعريفية \( G(x)=\int_1^x F(t)\, dt \) والتأكد من أنها تحقق \( G(x)\ge 0 \) لجميع \( x \) ذات العلاقة. --- \[ \textbf{الحالة الأولى: عندما } 1\le x<2. \] في هذا المجال تكون \( F(t)=12 \) لجميع \( t \) بين 1 و\( x \)، لذا: \[ G(x)=\int_1^x 12\, dt=12\int_1^x 1\, dt=12(x-1). \] ولأن \( x\ge1 \) فإن \( x-1\ge 0 \) وبالتالي: \[ G(x)=12(x-1)\ge 0. \] --- \[ \textbf{الحالة الثانية: عندما } x\ge 2. \] عند \( x\ge 2 \) يجب تقسيم التكامل على فترتين حيث تتغير تعريف الدالة: \[ G(x)=\int_1^2 12\, dt+\int_2^x 3t^2\, dt. \] أولاً، نحسب التكامل الأول: \[ \int_1^2 12\, dt=12(2-1)=12. \] ثم نوجد التكامل الثاني: \[ \int_2^x 3t^2\, dt=3\int_2^x t^2\, dt=3\left[\frac{t^3}{3}\right]_2^x=x^3-8. \] بجمع الجزأين نحصل على: \[ G(x)=12+(x^3-8)=x^3+4. \] ومن الواضح أن \( x^3+4>0 \) لأي \( x\ge 2 \). --- \[ \textbf{الاستنتاج:} \] لقد وجدنا أن: \[ G(x)= \begin{cases} 12(x-1), & 1\le x<2,\\[1mm] x^3+4, & x\ge 2, \end{cases} \] وتظهر الحسابات أن: \[ G(x)\ge 0 \quad \text{لكل } x\ge 1. \]