\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x & \text { si } x \leq 0 \\ -\frac{1}{3} x+1 & \text { si } x>0\end{array}\right. \)

1. Sea la función definida por \[ f(x)= \begin{cases} 1-x & \text{si } x \leq 0,\\[6mm] -\frac{1}{3}x+1 & \text{si } x>0. \end{cases} \] 2. Evaluamos la continuidad en \( x=0 \): - Para \( x \leq 0 \), la función es \( f(x)=1-x \). Entonces, \[ f(0)=1-0=1. \] - Para \( x>0 \), la función es \( f(x)=-\frac{1}{3}x+1 \). El límite por la derecha cuando \( x\to0^+ \) es \[ \lim_{x\to0^+} f(x) = -\frac{1}{3}\cdot 0+1=1. \] Dado que \[ \lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=1, \] la función es continua en \( x=0 \). 3. Evaluamos la diferenciabilidad en \( x=0 \): - Derivada en la parte \( x\le0 \): La función es \( f(x)=1-x \); por lo tanto, \[ f'(x)=-1 \quad \text{para } x<0. \] Así, el límite de la derivada por la izquierda en \( x=0 \) es \[ f'_-(0)=-1. \] - Derivada en la parte \( x>0 \): La función es \( f(x)=-\frac{1}{3}x+1 \); por lo tanto, \[ f'(x)=-\frac{1}{3} \quad \text{para } x>0. \] Así, el límite de la derivada por la derecha en \( x=0 \) es \[ f'_+(0)=-\frac{1}{3}. \] Puesto que \[ f'_-(0)=-1 \neq f'_+(0)=-\frac{1}{3}, \] la función no es diferenciable en \( x=0 \). 4. Conclusión: - La función \( f \) es continua en todo \( \mathbb{R} \). - La función presenta un punto donde no es diferenciable (en \( x=0 \)) debido a la discontinuidad en la derivada.