$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x & ext { si } x \leq 0 \ -\frac{1}{3} x+1 & ext { si } x0\end{array} ight. $$

Question

$$ f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x & 	ext { si } x \leq 0 \ -\frac{1}{3} x+1 & 	ext { si } x>0\end{array}ight. $$

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1. Sea la función definida por
   $$
   f(x)=
   \begin{cases}
   1-x & \text{si } x \leq 0,\[6mm]
   -\frac{1}{3}x+1 & \text{si } x>0.
   \end{cases}
   $$

2. Evaluamos la continuidad en $$ x=0 $$:

- Para $$ x \leq 0 $$, la función es $$ f(x)=1-x $$. Entonces,
     $$
     f(0)=1-0=1.
     $$
     
   - Para $$ x>0 $$, la función es $$ f(x)=-\frac{1}{3}x+1 $$. El límite por la derecha cuando $$ x\to0^+ $$ es
     $$
     \lim_{x\to0^+} f(x) = -\frac{1}{3}\cdot 0+1=1.
     $$
     
   Dado que
   $$
   \lim_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=1,
   $$
   la función es continua en $$ x=0 $$.

3. Evaluamos la diferenciabilidad en $$ x=0 $$:

- Derivada en la parte $$ x\le0 $$:
     
     La función es $$ f(x)=1-x $$; por lo tanto,
     $$
     f'(x)=-1 \quad \text{para } x<0.
     $$
     Así, el límite de la derivada por la izquierda en $$ x=0 $$ es
     $$
     f'_-(0)=-1.
     $$
     
   - Derivada en la parte $$ x>0 $$:
     
     La función es $$ f(x)=-\frac{1}{3}x+1 $$; por lo tanto,
     $$
     f'(x)=-\frac{1}{3} \quad \text{para } x>0.
     $$
     Así, el límite de la derivada por la derecha en $$ x=0 $$ es
     $$
     f'_+(0)=-\frac{1}{3}.
     $$
     
   Puesto que
   $$
   f'_-(0)=-1 \neq f'_+(0)=-\frac{1}{3},
   $$
   la función no es diferenciable en $$ x=0 $$.

4. Conclusión:

- La función $$ f $$ es continua en todo $$ \mathbb{R} $$.
   - La función presenta un punto donde no es diferenciable (en $$ x=0 $$) debido a la discontinuidad en la derivada.
La función $$ f(x) $$ es continua en todo $$ \mathbb{R} $$ pero no es diferenciable en $$ x=0 $$ debido a una discontinuidad en la derivada en ese punto.

\( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}1-x & \text { si } x \leq 0 \\ -\frac{1}{3} x+1 & \text { si } x>0\end{array}\right. \)

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