(5.) Responde. a. Si la razón entre dos segmentos l a 3 , y $$ A C+C D=20 \mathrm{~cm} $$, ¿cuá y cuánto mide $$ \overline{C D} $$ ? b. Si la razón entre $$ B D $$ y $$ E F $$ es de 3 cm, ¿cuánto mide $$ \overline{E F} $$ ? c. Si la razón entre $$ P Q $$ y $$ R S $$ es $$ \frac{3}{4} $$ y es de 3 cm , ¿cuánto miden $$ \overline{P Q} y $$ d. Si $$ P Q $$ es a $$ Q R $$ y $$ Q R $$ es a $$ S T $$, ¿cuá de $$ \overline{P Q} $$ si $$ Q R=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm} y S T= $$

Question

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Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso.

### a. Razón entre dos segmentos $$ l $$ y $$ a $$

Se nos dice que la razón entre dos segmentos es $$ l : a = 3 : 1 $$ y que $$ A C + C D = 20 \, \text{cm} $$.

1. **Definimos los segmentos**:
   - Sea $$ l = 3x $$ y $$ a = x $$.
   - Entonces, $$ A C + C D = 3x + x = 4x $$.

2. **Igualamos a 20 cm**:
   $$
   4x = 20
   $$

3. **Despejamos $$ x $$**:
   $$
   x = \frac{20}{4} = 5 \, \text{cm}
   $$

4. **Calculamos $$ \overline{C D} $$**:
   - $$ \overline{C D} = a = x = 5 \, \text{cm} $$.

### b. Razón entre $$ B D $$ y $$ E F $$

Se nos dice que la razón entre $$ B D $$ y $$ E F $$ es de 3 cm.

1. **Definimos los segmentos**:
   - Sea $$ B D = 3y $$ y $$ E F = y $$.

2. **La razón es**:
   $$
   \frac{B D}{E F} = \frac{3y}{y} = 3
   $$

3. **Si $$ B D = 3 \, \text{cm} $$**, entonces:
   $$
   3y = 3 \implies y = 1 \, \text{cm}
   $$

4. **Calculamos $$ \overline{E F} $$**:
   - $$ \overline{E F} = y = 1 \, \text{cm} $$.

### c. Razón entre $$ P Q $$ y $$ R S $$

Se nos dice que la razón entre $$ P Q $$ y $$ R S $$ es $$ \frac{3}{4} $$ y que $$ R S = 3 \, \text{cm} $$.

1. **Definimos los segmentos**:
   - Sea $$ P Q = 3z $$ y $$ R S = 4z $$.

2. **Igualamos $$ R S $$**:
   $$
   4z = 3 \implies z = \frac{3}{4}
   $$

3. **Calculamos $$ \overline{P Q} $$**:
   - $$ \overline{P Q} = 3z = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} \, \text{cm} = 2.25 \, \text{cm} $$.

### d. Razón entre $$ P Q $$, $$ Q R $$ y $$ S T $$

Se nos dice que $$ P Q $$ es a $$ Q R $$ y $$ Q R $$ es a $$ S T $$. Dado que $$ Q R = 3\sqrt{2} \, \text{cm} $$.

1. **Definimos las razones**:
   - Sea $$ P Q = k \cdot Q R $$ y $$ S T = m \cdot Q R $$.

2. **Si $$ Q R = 3\sqrt{2} \, \text{cm} $$**, entonces:
   - $$ P Q = k \cdot 3\sqrt{2} $$
   - $$ S T = m \cdot 3\sqrt{2} $$

3. **Sin valores específicos para $$ k $$ y $$ m $$**, no podemos calcular $$ \overline{P Q} $$ y $$ \overline{S T} $$ sin más información.

Por lo tanto, las respuestas son:
- a. $$ \overline{C D} = 5 \, \text{cm} $$
- b. $$ \overline{E F} = 1 \, \text{cm} $$
- c. $$ \overline{P Q} = 2.25 \, \text{cm} $$
- d. No se puede determinar $$ \overline{P Q} $$ sin más información sobre las razones.
a. $$ \overline{C D} = 5 \, \text{cm} $$ b. $$ \overline{E F} = 1 \, \text{cm} $$ c. $$ \overline{P Q} = 2.25 \, \text{cm} $$ d. No se puede determinar $$ \overline{P Q} $$ sin más información.

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