PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 En el diagrama, $$ \hat{\mathrm{A}}=90^{\circ}, \mathrm{CX}=10 \mathrm{~m}, \mathrm{ACB}=30^{\circ} $$ y $$ \hat{\mathrm{X}}=10^{\circ} $$. a Escriba la medida del ángulo BCX . b Halle la longitud de BC . c Halle la longitud de AB .

Question

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Para resolver el problema, vamos a analizar la información dada y aplicar las propiedades de los triángulos.

### Datos conocidos:
- $$ \hat{A} = 90^{\circ} $$
- $$ CX = 10 \, \text{m} $$
- $$ \hat{ACB} = 30^{\circ} $$
- $$ \hat{X} = 10^{\circ} $$

### a) Medida del ángulo $$ BCX $$

Para encontrar el ángulo $$ BCX $$, podemos usar la propiedad de que la suma de los ángulos en un triángulo es $$ 180^{\circ} $$. En el triángulo $$ ACX $$:

$$
\hat{A} + \hat{ACB} + \hat{X} + \hat{BCX} = 180^{\circ}
$$

Sustituyendo los valores conocidos:

$$
90^{\circ} + 30^{\circ} + 10^{\circ} + \hat{BCX} = 180^{\circ}
$$

Resolviendo para $$ \hat{BCX} $$:

$$
\hat{BCX} = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ} + 10^{\circ}) = 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ}
$$

Por lo tanto, la medida del ángulo $$ BCX $$ es $$ 50^{\circ} $$.

### b) Longitud de $$ BC $$

Para hallar la longitud de $$ BC $$, podemos usar la relación de los lados en un triángulo. En el triángulo $$ ACX $$, aplicamos la ley de senos:

$$
\frac{AC}{\sin(\hat{X})} = \frac{CX}{\sin(\hat{ACB})}
$$

Primero, necesitamos encontrar $$ AC $$. Usamos la relación:

$$
\frac{AC}{\sin(10^{\circ})} = \frac{10 \, \text{m}}{\sin(30^{\circ})}
$$

Sabemos que $$ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} $$, así que:

$$
\frac{AC}{\sin(10^{\circ})} = \frac{10 \, \text{m}}{0.5} = 20 \, \text{m}
$$

Despejando $$ AC $$:

$$
AC = 20 \, \text{m} \cdot \sin(10^{\circ})
$$

Ahora, calculamos $$ AC $$:

$$
AC \approx 20 \cdot 0.1736 \approx 3.472 \, \text{m}
$$

Ahora, usando la ley de senos para encontrar $$ BC $$:

$$
\frac{BC}{\sin(50^{\circ})} = \frac{10 \, \text{m}}{\sin(30^{\circ})}
$$

Sustituyendo:

$$
\frac{BC}{\sin(50^{\circ})} = 20 \, \text{m}
$$

Despejando $$ BC $$:

$$
BC = 20 \cdot \sin(50^{\circ})
$$

Calculando $$ BC $$:

$$
BC \approx 20 \cdot 0.7660 \approx 15.32 \, \text{m}
$$

### c) Longitud de $$ AB $$

Para encontrar $$ AB $$, podemos usar el triángulo $$ ABC $$ y la ley de senos nuevamente:

$$
\frac{AB}{\sin(30^{\circ})} = \frac{AC}{\sin(50^{\circ})}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
\frac{AB}{0.5} = \frac{3.472 \, \text{m}}{0.7660}
$$

Despejando $$ AB $$:

$$
AB = 0.5 \cdot \frac{3.472 \, \text{m}}{0.7660}
$$

Calculando $$ AB $$:

$$
AB \approx 0.5 \cdot 4.54 \approx 2.27 \, \text{m}
$$

### Resumen de respuestas:
a) $$ \hat{BCX} = 50^{\circ} $$  
b) $$ BC \approx 15.32 \, \text{m} $$  
c) $$ AB \approx 2.27 \, \text{m} $$
a) El ángulo $$ BCX $$ mide $$ 50^{\circ} $$. b) La longitud de $$ BC $$ es aproximadamente $$ 15.32 \, \text{m} $$. c) La longitud de $$ AB $$ es aproximadamente $$ 2.27 \, \text{m} $$.

PREGUNTA TIPO EXAMEN 8 En el diagrama, \( \hat{\mathrm{A}}=90^{\circ}, \mathrm{CX}=10 \mathrm{~m}, \mathrm{ACB}=30^{\circ} \) y \( \hat{\mathrm{X}}=10^{\circ} \). a Escriba la medida del ángulo BCX . b Halle la longitud de BC . c Halle la longitud de AB .

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