En una muestra de 156 personas seleccionadas al azar de la población conjunta de los barrios de San Sebastián y Conchopata, se obtuvo una media de 7 robos durante toda su vida y una varianza de 3 robos. Estime el intervalo de probabilidad de robos durante toda la vida en estos barrios a un nivel de. confianza del \( 96.92 \% \). Grafique e interprete sus resultados.

Para estimar el intervalo de confianza del \( 96.92\% \) para el número promedio de robos durante toda la vida en los barrios de San Sebastián y Conchopata, sigamos los pasos detallados a continuación: ### **Datos proporcionados:** - **Tamaño de la muestra (\( n \))**: 156 personas - **Media muestral (\( \bar{x} \))**: 7 robos - **Varianza muestral (\( s^2 \))**: 3 robos² - **Desviación estándar muestral (\( s \))**: \( \sqrt{3} \approx 1.732 \) robos - **Nivel de confianza**: \( 96.92\% \) ### **Paso 1: Determinar el valor crítico (\( z^* \))** Para un nivel de confianza del \( 96.92\% \), el área en cada cola de la distribución normal será: \[ \alpha = 1 - 0.9692 = 0.0308 \quad \Rightarrow \quad \frac{\alpha}{2} = 0.0154 \] Buscamos el valor de \( z \) tal que: \[ P(Z < z^*) = 1 - 0.0154 = 0.9846 \] Consultando una tabla de la distribución normal estándar o utilizando una calculadora estadística, encontramos que: \[ z^* \approx 2.16 \] ### **Paso 2: Calcular el error estándar (\( SE \))** \[ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{156}} = \sqrt{\frac{3}{156}} \approx \sqrt{0.01923} \approx 0.1381 \] ### **Paso 3: Determinar el margen de error (\( ME \))** \[ ME = z^* \times SE = 2.16 \times 0.1381 \approx 0.298 \] ### **Paso 4: Establecer el intervalo de confianza** \[ \text{Intervalo de confianza} = \bar{x} \pm ME = 7 \pm 0.298 \] \[ \Rightarrow (6.70, 7.30) \] ### **Interpretación del Resultado:** Estamos \( 96.92\% \) seguros de que el número promedio de robos durante toda la vida de los residentes en los barrios de San Sebastián y Conchopata se encuentra entre **6.70** y **7.30** robos. ### **Gráfica del Intervalo de Confianza:** Aunque no puedo proporcionar una imagen directamente, puedo describir cómo sería la gráfica: 1. **Eje X**: Representa el número de robos. 2. **Curva de la distribución normal**: Centrada en la media muestral (\( \bar{x} = 7 \)). 3. **Intervalo de confianza**: Marca dos puntos en el eje X a 6.70 y 7.30. 4. **Área sombreada**: Entre 6.70 y 7.30, representando el \( 96.92\% \) de confianza. Esta representación visual ayuda a entender que la verdadera media poblacional de robos se encuentra dentro de este rango con una alta probabilidad del \( 96.92\% \). ### **Conclusión:** El análisis muestra que, con un alto nivel de confianza, el promedio de robos durante toda la vida en los barrios estudiados está estrechamente concentrado alrededor de 7 robos, específicamente entre 6.70 y 7.30 robos. Esto proporciona una estimación precisa que puede ser útil para la planificación de medidas de seguridad y prevención en dichas áreas.