11) \( \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \) Si hay Raiz no aplica \[ \begin{array}{l} -x^{2}+0 x+1 \prod^{-1} x^{2}+9 x+0 \\ \frac{\Leftrightarrow x^{2} \Leftrightarrow \operatorname{ax}(t) 1}{1} \\ =-1+\frac{1}{\sqrt{1-x}} \\ =\int-1 d x+\int \frac{B}{\sqrt{1-x^{2}}} d x \\ =\quad u^{2}=x^{2} \quad a^{2}=1 \\ u=x \quad a=1 \\ d u=d x \\ =-x+\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-u^{2}}} d u \\ =-x+\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{u}{a}\right)+c \\ =-x+\operatorname{sen}(x)+c \end{array} \]

Queremos calcular   I = ∫ (x² / √(1 – x²)) dx. Una forma conveniente es utilizar la sustitución trigonométrica. Procedamos así: 1. Sea x = sinθ, de donde se tiene:   dx = cosθ dθ  y  √(1 – x²) = √(1 – sin²θ) = cosθ. 2. Entonces, la integral se transforma en:   I = ∫ [sin²θ / cosθ] · (cosθ dθ) = ∫ sin²θ dθ. 3. Ahora, recordamos la identidad para sin²θ:   sin²θ = ½ (1 – cos2θ). Por lo tanto,   I = ∫ ½ (1 – cos2θ) dθ = ½ ∫ (1 – cos2θ) dθ. 4. Se integran las partes:   ∫ 1 dθ = θ  y  ∫ cos2θ dθ = (½) sin2θ, llegando a:   I = ½ [θ – (½) sin2θ] + C = ½ θ – ¼ sin2θ + C. 5. Volviendo a la variable original, recordamos:   θ = arcsin x. Además, se tiene que:   sin2θ = 2 sinθ cosθ = 2x √(1 – x²). Por lo tanto,   I = ½ (arcsin x) – ¼ (2x√(1 – x²)) + C = ½ (arcsin x) – ½ x√(1 – x²) + C. Esta es la antiderivada buscada. Respuesta final:   ∫ (x² / √(1 – x²)) dx = ½ [arcsin x – x√(1 – x²)] + C.