Escribir en lenguaje lógico y luego negar las siguientes proposicione
■xiste un número real para el cual para todo número real .

Para cada número positivo , existe un número positivo tal que
implica que .
■ Para cada número positivo , existe un número positivo para el cual
cuando .

Question

Escribir en lenguaje lógico y luego negar las siguientes proposicione
■xiste un número real para el cual para todo número real .

Para cada número positivo , existe un número positivo tal que
implica que .
■ Para cada número positivo , existe un número positivo para el cual
cuando .

Ask by Wagner Rojas. in Chile

Mar 20,2025

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1. Sea la siguiente proposición: - Existe un número real $$ a $$ tal que para todo número real $$ x $$ se tiene que $$ a+x=x $$. Su formulación en lenguaje lógico es: $$ \exists a \in \mathbb{R} \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, (a+x=x). $$ La negación se obtiene cambiando los cuantificadores y negando la condición: $$ \forall a \in \mathbb{R} \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, (a+x \neq x). $$ 2. Sea la siguiente proposición (relativa a la continuidad en $$ a $$): - Para cada número positivo $$ \varepsilon $$, existe un número positivo $$ \delta $$ tal que $$\, |x-a|<\delta $$ implica que $$|f(x)-f(a)|<\varepsilon $$. Su formulación en lenguaje lógico es: $$ \forall \varepsilon >0 \,\, \exists \delta>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<\varepsilon\bigr). $$ Negamos la proposición invirtiendo los cuantificadores y la implicación: $$ \exists \varepsilon >0 \,\, \forall \delta>0 \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(|x-a|<\delta \,\wedge\, |f(x)-f(a)| \ge \varepsilon\bigr). $$ 3. Sea la siguiente proposición (relativa al límite en el infinito): - Para cada número positivo $$ \varepsilon $$, existe un número positivo $$ M $$ para el cual se tiene que $$ |f(x)-b|<\varepsilon $$ cuando $$ x>M $$. Su formulación en lenguaje lógico es: $$ \forall \varepsilon >0 \,\, \exists M>0 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(x>M \implies |f(x)-b|<\varepsilon\bigr). $$ La negación se expresa como: $$ \exists \varepsilon >0 \,\, \forall M>0 \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(x>M \,\wedge\, |f(x)-b| \ge \varepsilon\bigr). $$ 1. **Proposición Original:** - Existe un número real $$ a $$ tal que para todo número real $$ x $$, $$ a + x = x $$. **Lenguaje Lógico:** $$ \exists a \in \mathbb{R} \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, (a + x = x) $$ **Negación:** $$ \forall a \in \mathbb{R} \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, (a + x \neq x) $$ 2. **Proposición Original (Continuidad en $$ a $$):** - Para cada número positivo $$ \varepsilon $$, existe un número positivo $$ \delta $$ tal que si $$ |x - a| < \delta $$, entonces $$ |f(x) - f(a)| < \varepsilon $$. **Lenguaje Lógico:** $$ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists \delta > 0 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(|x - a| < \delta \implies |f(x) - f(a)| < \varepsilon\bigr) $$ **Negación:** $$ \exists \varepsilon > 0 \,\, \forall \delta > 0 \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(|x - a| < \delta \,\wedge\, |f(x) - f(a)| \geq \varepsilon\bigr) $$ 3. **Proposición Original (Límite en el Infinito):** - Para cada número positivo $$ \varepsilon $$, existe un número positivo $$ M $$ tal que si $$ x > M $$, entonces $$ |f(x) - b| < \varepsilon $$. **Lenguaje Lógico:** $$ \forall \varepsilon > 0 \,\, \exists M > 0 \,\, \forall x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(x > M \implies |f(x) - b| < \varepsilon\bigr) $$ **Negación:** $$ \exists \varepsilon > 0 \,\, \forall M > 0 \,\, \exists x \in \mathbb{R} \,\, \bigl(x > M \,\wedge\, |f(x) - b| \geq \varepsilon\bigr) $$

Escribir en lenguaje lógico y luego negar las siguientes proposicione
■xiste un número real para el cual para todo número real .

Para cada número positivo , existe un número positivo tal que
implica que .
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cuando .

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Escribir en lenguaje lógico y luego negar las siguientes proposicione
■xiste un número real para el cual para todo número real .

Para cada número positivo , existe un número positivo tal que
implica que .
■ Para cada número positivo , existe un número positivo para el cual
cuando .