Question
6) La somme de deux nombres réels est 7 et la différence de leurs carres est 7 . Trouve ces deux nombres.
Ask by Schofield Vargas. in Egypt
Mar 13,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
Les deux nombres sont 4 et 3.
Solution
Soit \( x \) et \( y \) les deux nombres réels. Nous disposons des deux équations :
1. La somme des nombres :
\[
x+y=7
\]
2. La différence de leurs carrés :
\[
x^2-y^2=7
\]
Nous rappelons que la différence de deux carrés se factorise :
\[
x^2-y^2=(x+y)(x-y)
\]
En remplaçant dans l’équation, nous obtenons :
\[
(x+y)(x-y)=7
\]
Or, comme \( x+y=7 \), il vient :
\[
7(x-y)=7
\]
Ce qui donne :
\[
x-y=1
\]
Nous avons ainsi le système :
\[
\begin{cases}
x+y=7 \\
x-y=1
\end{cases}
\]
Additionnons ces deux équations :
\[
(x+y)+(x-y)=7+1 \quad \Rightarrow \quad 2x=8 \quad \Rightarrow \quad x=4
\]
Substituons \( x=4 \) dans \( x+y=7 \) :
\[
4+y=7 \quad \Rightarrow \quad y=3
\]
Les deux nombres recherchés sont donc \( 4 \) et \( 3 \).
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Pour résoudre ce problème, on peut poser les deux nombres comme \( x \) et \( y \). Selon les conditions données, nous avons les deux équations : 1. \( x + y = 7 \) 2. \( x^2 - y^2 = 7 \) On peut utiliser la première équation pour exprimer \( y \) en fonction de \( x \) : \( y = 7 - x \). Ensuite, remplaçons \( y \) dans la deuxième équation : \( x^2 - (7 - x)^2 = 7 \). En développant et simplifiant, on trouve \( x^2 - (49 - 14x + x^2) = 7 \), ce qui devient \( 14x - 49 = 7 \). En ajoutant 49 des deux côtés, on obtient \( 14x = 56 \), donc \( x = 4 \). En utilisant \( x = 4 \) dans la première équation, \( y = 7 - 4 = 3 \). Ainsi, les deux nombres sont 4 et 3 !
