Dada la matriz \( A=\left(\begin{array}{ccc}x+1 & x+1 & x-4 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x\end{array}\right) \) siendo \( x \in \mathbb{R} \) a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz. b) Para \( x=1 \), calcula su inversa.

a) Para calcular el determinante de la matriz \( A \), utilizaremos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta. Primero, calculamos la transpuesta de \( A \): \[ A^T = \left(\begin{array}{ccc}x+1 & x & x \\ x+1 & x & x-1 \\ x-4 & 2-x & x\end{array}\right) \] Luego, aplicamos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta: \[ \det(A) = \det(A^T) \] Ahora, calculamos el determinante de \( A^T \) utilizando la descomposición en filas o columnas. Vamos a descomponer la primera fila: \[ \det(A^T) = (x+1) \left[ x(x-1) - x(x-1) \right] - x \left[ (x+1)(x-1) - (x-4)(x-1) \right] + (x-4) \left[ (x+1)x - x(x-1) \right] \] Simplificamos: \[ \det(A^T) = (x+1)(0) - x \left[ x^2 - 1 - (x^2 - 5x + 4) \right] + (x-4)(x^2 + x) \] \[ \det(A^T) = -x(0) + x(5x - 3) + (x-4)(x^2 + x) \] \[ \det(A^T) = 5x^2 - 3x + x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x \] \[ \det(A^T) = x^3 + 2x^2 - 7x \] Por lo tanto, el determinante de \( A \) es: \[ \det(A) = x^3 + 2x^2 - 7x \] La matriz \( A \) es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, \( A \) es invertible cuando: \[ x^3 + 2x^2 - 7x \neq 0 \] b) Para \( x=1 \), calculamos la inversa de \( A \). Primero, verificamos que \( A \) es invertible cuando \( x=1 \): \[ \det(A) = 1^3 + 2(1)^2 - 7(1) = 1 + 2 - 7 = -4 \] Como el determinante es distinto de cero, \( A \) es invertible para \( x=1 \). Ahora, calculamos la inversa de \( A \) cuando \( x=1 \): \[ A = \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right) \] Para calcular la inversa, utilizamos la fórmula de la inversa de una matriz 3x3: \[ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \left(\begin{array}{ccc}d & -b & a \\ -c & e & -f \\ b & -d & f\end{array}\right) \] donde \( a, b, c, d, e, f \) son los elementos de la matriz \( A \). En este caso, \( a=2, b=2, c=-3, d=1, e=1, f=1 \): \[ A^{-1} = \frac{1}{-4} \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ 3 & -1 & -3 \\ 2 & -2 & 1\end{array}\right) \] \[ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \\ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\end{array}\right) \] Por lo tanto, la inversa de \( A \) cuando \( x=1 \) es: \[ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ -\