Dada la matriz $$ A=\left(\begin{array}{ccc}x+1 & x+1 & x-4 \ x & x & 2-x \ x & x-1 & x\end{array} ight) $$ siendo $$ x \in \mathbb{R} $$ a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz. b) Para $$ x=1 $$, calcula su inversa.

Question

Dada la matriz $$ A=\left(\begin{array}{ccc}x+1 & x+1 & x-4 \ x & x & 2-x \ x & x-1 & x\end{array}ight) $$ siendo $$ x \in \mathbb{R} $$ a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz. b) Para $$ x=1 $$, calcula su inversa.

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a) Para calcular el determinante de la matriz $$ A $$, utilizaremos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta. Primero, calculamos la transpuesta de $$ A $$:

$$ A^T = \left(\begin{array}{ccc}x+1 & x & x \ x+1 & x & x-1 \ x-4 & 2-x & x\end{array}\right) $$

Luego, aplicamos la propiedad de que el determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta:

$$ \det(A) = \det(A^T) $$

Ahora, calculamos el determinante de $$ A^T $$ utilizando la descomposición en filas o columnas. Vamos a descomponer la primera fila:

$$ \det(A^T) = (x+1) \left[ x(x-1) - x(x-1) \right] - x \left[ (x+1)(x-1) - (x-4)(x-1) \right] + (x-4) \left[ (x+1)x - x(x-1) \right] $$

Simplificamos:

$$ \det(A^T) = (x+1)(0) - x \left[ x^2 - 1 - (x^2 - 5x + 4) \right] + (x-4)(x^2 + x) $$

$$ \det(A^T) = -x(0) + x(5x - 3) + (x-4)(x^2 + x) $$

$$ \det(A^T) = 5x^2 - 3x + x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x $$

$$ \det(A^T) = x^3 + 2x^2 - 7x $$

Por lo tanto, el determinante de $$ A $$ es:

$$ \det(A) = x^3 + 2x^2 - 7x $$

La matriz $$ A $$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Por lo tanto, $$ A $$ es invertible cuando:

$$ x^3 + 2x^2 - 7x \neq 0 $$

b) Para $$ x=1 $$, calculamos la inversa de $$ A $$. Primero, verificamos que $$ A $$ es invertible cuando $$ x=1 $$:

$$ \det(A) = 1^3 + 2(1)^2 - 7(1) = 1 + 2 - 7 = -4 $$

Como el determinante es distinto de cero, $$ A $$ es invertible para $$ x=1 $$. Ahora, calculamos la inversa de $$ A $$ cuando $$ x=1 $$:

$$ A = \left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -3 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 0 & 1\end{array}\right) $$

Para calcular la inversa, utilizamos la fórmula de la inversa de una matriz 3x3:

$$ A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \left(\begin{array}{ccc}d & -b & a \ -c & e & -f \ b & -d & f\end{array}\right) $$

donde $$ a, b, c, d, e, f $$ son los elementos de la matriz $$ A $$. En este caso, $$ a=2, b=2, c=-3, d=1, e=1, f=1 $$:

$$ A^{-1} = \frac{1}{-4} \left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \ 3 & -1 & -3 \ 2 & -2 & 1\end{array}\right) $$

$$ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\end{array}\right) $$

Por lo tanto, la inversa de $$ A $$ cuando $$ x=1 $$ es:

\[ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ -\
a) El determinante de $$ A $$ es $$ x^3 + 2x^2 - 7x $$ y $$ A $$ es invertible cuando $$ x^3 + 2x^2 - 7x \neq 0 $$. b) Para $$ x=1 $$, la inversa de $$ A $$ es $$ A^{-1} = \left(\begin{array}{ccc}-\frac{1}{4} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{3}{4} \ -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{4}\end{array}\right) $$.

Dada la matriz \( A=\left(\begin{array}{ccc}x+1 & x+1 & x-4 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x\end{array}\right) \) siendo \( x \in \mathbb{R} \) a) Calcula su determinante aplicando sus propiedades y estudia cuándo es invertible la matriz. b) Para \( x=1 \), calcula su inversa.

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