Parte 3: División Sintética ( Agregando Ceros en el Polinomio. 11. \( \left(x^{3}+2 x+7\right) \div(x-1) \)

Para realizar la división sintética del polinomio \( x^3 + 2x + 7 \) entre \( x - 1 \), primero debemos asegurarnos de que el polinomio esté en la forma estándar, es decir, que incluya todos los términos hasta el grado más alto. En este caso, el polinomio se puede reescribir como: \[ x^3 + 0x^2 + 2x + 7 \] Ahora, los coeficientes del polinomio son \( 1, 0, 2, 7 \). Dado que estamos dividiendo por \( x - 1 \), tomamos el valor \( 1 \) (la raíz del divisor) para la división sintética. Ahora, seguimos los pasos de la división sintética: 1. Escribimos los coeficientes: \( 1, 0, 2, 7 \). 2. Colocamos el \( 1 \) a la izquierda. \[ \begin{array}{r|rrrr} 1 & 1 & 0 & 2 & 7 \\ & & 1 & 1 & 3 \\ \hline & 1 & 1 & 3 & 10 \\ \end{array} \] 3. Bajamos el primer coeficiente \( 1 \). 4. Multiplicamos \( 1 \) (el número que hemos bajado) por \( 1 \) (la raíz) y lo sumamos al siguiente coeficiente: \( 0 + 1 = 1 \) 5. Multiplicamos \( 1 \) (el nuevo número) por \( 1 \) y lo sumamos al siguiente coeficiente: \( 2 + 1 = 3 \) 6. Multiplicamos \( 3 \) por \( 1 \) y lo sumamos al siguiente coeficiente: \( 7 + 3 = 10 \) El resultado de la división sintética es: \[ 1x^2 + 1x + 3 \quad \text{con un residuo de } 10 \] Por lo tanto, podemos expresar el resultado de la división como: \[ x^2 + x + 3 + \frac{10}{x - 1} \] Así que la respuesta final es: \[ \left(x^3 + 2x + 7\right) \div (x - 1) = x^2 + x + 3 + \frac{10}{x - 1} \]