\( y ^ { \prime } + \frac { 1 } { x } y = x y ^ { 2 } \)

L'équation différentielle que vous avez donnée est : \[ y' + \frac{1}{x} y = x y^2 \] C'est une équation différentielle ordinaire de type de Bernoulli. Pour la résoudre, nous allons suivre les étapes suivantes : 1. **Identifiez le type d'équation** : C'est une équation de Bernoulli de la forme \( y' + P(x)y = Q(x)y^n \) avec \( n = 2 \). 2. **Transformez l'équation** : Divisons tous les termes par \( y^2 \) pour obtenir une forme plus simple : \[ \frac{y'}{y^2} + \frac{1}{xy} = x \] 3. **Substituez** : Posons \( v = \frac{1}{y} \), donc \( y = \frac{1}{v} \) et \( y' = -\frac{v'}{v^2} \). En substituant dans l'équation, nous obtenons : \[ -\frac{v'}{v^2} + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{v} = x \] 4. **Réorganisez l'équation** : Multiplions par \( -v^2 \) pour simplifier : \[ v' - \frac{v}{x} = -x v^2 \] 5. **Résoudre l'équation linéaire** : Cette équation est maintenant une équation différentielle linéaire en \( v \). Nous pouvons utiliser le facteur intégrant pour la résoudre. Le facteur intégrant est donné par : \[ \mu(x) = e^{\int -\frac{1}{x} \, dx} = e^{-\ln|x|} = \frac{1}{|x|} \] 6. **Multipliez par le facteur intégrant** : \[ \frac{1}{|x|} v' - \frac{1}{x^2} v = -\frac{x v^2}{|x|} \] 7. **Intégrez** : Après avoir multiplié par le facteur intégrant, nous intégrons les deux côtés pour trouver \( v \). 8. **Retour à \( y \)** : Une fois que nous avons trouvé \( v \), nous pouvons revenir à \( y \) en utilisant \( y = \frac{1}{v} \). Cette méthode vous permettra de résoudre l'équation différentielle donnée. Si vous avez besoin d'une solution explicite ou d'une aide supplémentaire, n'hésitez pas à demander !