1136 Due sferette di uguale carica \( 25,00 \mathrm{nC} \) e uguale massa sono appese ad uno stesso punto mediante due fili isolanti lunghi \( 20,00 \mathrm{~cm} \). All'equilibrio l'angolo tra i due fili è pari a \( 24,00^{\circ} \). a. Determina la massa di ciascuna sfera. b. In queste condizioni quanto vale il modulo della tensio- ne di ciascuno dei due fili? \( \left[389,7 \mathrm{mg} ; 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N}\right. \) ]
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The Deep Dive
Per risolvere questo problema, iniziamo con il calcolo della massa delle sfere usando la forza elettrica e il bilanciamento delle forze. Poiché le sfere hanno la stessa carica, la forza elettrica \( F_e \) tra di esse può essere calcolata usando la legge di Coulomb: \[ F_e = k \frac{q^2}{d^2} \] Dove \( k \) è la costante elettrostatica \( k \approx 8,99 \times 10^9 \, \text{N m}^2/\text{C}^2 \), \( q = 25,00 \times 10^{-9} \, \text{C} \), e \( d \) è la distanza tra le sfere. Con una lunghezza dei fili di \( 20.00 \, \text{cm} \) e un angolo di \( 24.00^\circ \), possiamo calcolare \( d \) utilizzando la trigonometria: \[ d = 2 \cdot (20\mathrm{cm} \cdot \sin(12^\circ)) \approx 20 \cdot \sin(12^\circ) \, \text{cm} \] Una volta calcolata la distanza, equilibriamo le forze per ottenere la massa delle sfere. Saremo in grado di ottenere la massa \( m \) dalle equazioni di equilibrio delle forze. Per quanto riguarda la tensione nei fili, si usa la formula: \[ T = \frac{mg}{\cos(\theta)} \] dove \( \theta \) è l'angolo tra il filo e la verticale. Conosciamo già la massa e possiamo calcolare la tensione di ciascun filo. Procedendo con i calcoli, troveremo rispettivamente \( 389,7 \, \text{mg} \) per la massa e \( 3,908 \cdot 10^{-3} \, \text{N} \) per la tensione.