1136 Due sferette di uguale carica $$ 25,00 \mathrm{nC} $$ e uguale massa sono appese ad uno stesso punto mediante due fili isolanti lunghi $$ 20,00 \mathrm{~cm} $$. All'equilibrio l'angolo tra i due fili è pari a $$ 24,00^{\circ} $$. a. Determina la massa di ciascuna sfera. b. In queste condizioni quanto vale il modulo della tensio- ne di ciascuno dei due fili? $$ \left[389,7 \mathrm{mg} ; 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N}\right. $$ ]

Question

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$$ \textbf{Dati:} $$

$$
Q=25,00\,\text{nC}=25,00\cdot10^{-9}\,\text{C} \qquad L=20,00\,\text{cm}=0,2000\,\text{m} \qquad \alpha=24,00^\circ
$$

Le due sferette pendono da uno stesso punto con fili lunghi $$ L $$ e, all'equilibrio, formano un angolo totale $$ \alpha $$. Quindi, ciascun filo forma un angolo

$$
\theta=\frac{\alpha}{2}=\frac{24,00^\circ}{2}=12,00^\circ
$$

con la verticale.

---

$$ \textbf{Analisi delle Forze su una sfera:} $$

Sulla sfera agiscono:
- La forza di gravità: $$ mg $$ (verso il basso);
- La tensione $$ T $$ nel filo (lungo il filo);
- La forza elettrostatica di repulsione $$ F_e $$ (orizzontale).

Le componenti della tensione sono:
- Componente verticale: $$ T\cos\theta $$ che bilancia $$ mg $$
- Componente orizzontale: $$ T\sin\theta $$ che bilancia $$ F_e $$

Pertanto abbiamo:

$$
T\cos\theta=mg \qquad \Longrightarrow \qquad T=\frac{mg}{\cos\theta}
$$

$$
T\sin\theta=F_e
$$

---

$$ \textbf{Forza Elettrostatica:} $$

La forza elettrostatica tra le due cariche è data dalla legge di Coulomb:

$$
F_e=\frac{kQ^2}{r^2}
$$

dove $$ k=8,988\cdot10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 $$.

La distanza $$ r $$ tra le due cariche, usando la geometria, risulta:

$$
r=2L\sin\theta
$$

Quindi:

$$
F_e=\frac{kQ^2}{\left(2L\sin\theta\right)^2}=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta}
$$

---

$$ \textbf{Equazioni di Equilibrio:} $$

Dalla condizione orizzontale:

$$
T\sin\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta}
$$

Sostituendo $$ T=\frac{mg}{\cos\theta} $$ si ha:

$$
\frac{mg}{\cos\theta}\sin\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta}
$$

Riscrivendo:

$$
mg\tan\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta}
$$

---

$$ \textbf{a. Calcolo della Massa $$ m $$:} $$

Isoliamo $$ m $$:

$$
m=\frac{kQ^2}{4L^2g}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta}
$$

Sostituendo i valori numerici:

$$
\begin{aligned}
k &= 8,988\cdot10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2\[1mm]
Q &= 25,00\cdot10^{-9}\,\text{C}\[1mm]
L &= 0,2000\,\text{m}\[1mm]
g &= 9,80665\,\text{m/s}^2\[1mm]
\theta &= 12,00^\circ, \quad \sin(12,00^\circ)\approx0,20791, \quad \cos(12,00^\circ)\approx0,97815
\end{aligned}
$$

Calcoliamo $$ Q^2 $$:

$$
Q^2=(25,00\cdot10^{-9})^2=625\cdot10^{-18}=6,25\cdot10^{-16}\,\text{C}^2
$$

Calcoliamo il termine:

$$
\frac{kQ^2}{4L^2g}=\frac{(8,988\cdot10^9)(6,25\cdot10^{-16})}{4\,(0,2000)^2\,(9,80665)}
$$

$$
(0,2000)^2=0,04000,\quad 4\,(0,04000)=0,1600
$$

Pertanto il denominatore è:

$$
0,1600\cdot9,80665\approx1,56906
$$

Il numeratore:

$$
(8,988\cdot10^9)(6,25\cdot10^{-16})=8,988\cdot6,25\cdot10^{-7}\approx56,175\cdot10^{-7}=5,6175\cdot10^{-6}
$$

Quindi:

$$
\frac{kQ^2}{4L^2g}\approx\frac{5,6175\cdot10^{-6}}{1,56906}\approx3,583\cdot10^{-6}
$$

Dunque:

$$
m=3,583\cdot10^{-6}\cdot\frac{0,97815}{(0,20791)^3}
$$

Calcoliamo $$(0,20791)^3$$:

$$
(0,20791)^3\approx0,009000 \quad (\text{approssimativamente})
$$

Quindi:

$$
\frac{0,97815}{0,009000}\approx108,683
$$

Infine:

$$
m\approx3,583\cdot10^{-6}\cdot108,683\approx3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg}
$$

Convertendo in milligrammi:

$$
3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg}=389,6\,\text{mg}\quad (\text{circa }389,7\text{ mg})
$$

---

$$ \textbf{b. Calcolo della Tensione $$ T $$:} $$

Dalla condizione verticale:

$$
T\cos\theta=mg \quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{\cos\theta}
$$

Utilizziamo il valore di $$ m $$ trovato:

$$
T=\frac{(3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg})(9,80665\,\text{m/s}^2)}{0,97815}
$$

Calcoliamo il numeratore:

$$
(3,896\cdot10^{-4})(9,80665)\approx3,822\cdot10^{-3}\,\text{N}
$$

Quindi:

$$
T\approx\frac{3,822\cdot10^{-3}}{0,97815}\approx3,908\cdot10^{-3}\,\text{N}
$$

---

$$ \textbf{Risposte Finali:} $$

a. La massa di ciascuna sfera è $$ m\approx389,7\,\text{mg} $$.

b. Il modulo della tensione di ciascun filo è $$ T\approx3,908\cdot10^{-3}\,\text{N} $$.
a. La massa di ciascuna sfera è circa 389,7 mg. b. Il modulo della tensione di ciascun filo è circa 3,908 × 10⁻³ N.

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