1136 Due sferette di uguale carica \( 25,00 \mathrm{nC} \) e uguale massa sono appese ad uno stesso punto mediante due fili isolanti lunghi \( 20,00 \mathrm{~cm} \). All'equilibrio l'angolo tra i due fili è pari a \( 24,00^{\circ} \). a. Determina la massa di ciascuna sfera. b. In queste condizioni quanto vale il modulo della tensio- ne di ciascuno dei due fili? \( \left[389,7 \mathrm{mg} ; 3,908 \cdot 10^{-3} \mathrm{~N}\right. \) ]

\[ \textbf{Dati:} \] \[ Q=25,00\,\text{nC}=25,00\cdot10^{-9}\,\text{C} \qquad L=20,00\,\text{cm}=0,2000\,\text{m} \qquad \alpha=24,00^\circ \] Le due sferette pendono da uno stesso punto con fili lunghi \( L \) e, all'equilibrio, formano un angolo totale \( \alpha \). Quindi, ciascun filo forma un angolo \[ \theta=\frac{\alpha}{2}=\frac{24,00^\circ}{2}=12,00^\circ \] con la verticale. --- \[ \textbf{Analisi delle Forze su una sfera:} \] Sulla sfera agiscono: - La forza di gravità: \( mg \) (verso il basso); - La tensione \( T \) nel filo (lungo il filo); - La forza elettrostatica di repulsione \( F_e \) (orizzontale). Le componenti della tensione sono: - Componente verticale: \( T\cos\theta \) che bilancia \( mg \) - Componente orizzontale: \( T\sin\theta \) che bilancia \( F_e \) Pertanto abbiamo: \[ T\cos\theta=mg \qquad \Longrightarrow \qquad T=\frac{mg}{\cos\theta} \] \[ T\sin\theta=F_e \] --- \[ \textbf{Forza Elettrostatica:} \] La forza elettrostatica tra le due cariche è data dalla legge di Coulomb: \[ F_e=\frac{kQ^2}{r^2} \] dove \( k=8,988\cdot10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2 \). La distanza \( r \) tra le due cariche, usando la geometria, risulta: \[ r=2L\sin\theta \] Quindi: \[ F_e=\frac{kQ^2}{\left(2L\sin\theta\right)^2}=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta} \] --- \[ \textbf{Equazioni di Equilibrio:} \] Dalla condizione orizzontale: \[ T\sin\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta} \] Sostituendo \( T=\frac{mg}{\cos\theta} \) si ha: \[ \frac{mg}{\cos\theta}\sin\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta} \] Riscrivendo: \[ mg\tan\theta=\frac{kQ^2}{4L^2\sin^2\theta} \] --- \[ \textbf{a. Calcolo della Massa \( m \):} \] Isoliamo \( m \): \[ m=\frac{kQ^2}{4L^2g}\cdot\frac{\cos\theta}{\sin^3\theta} \] Sostituendo i valori numerici: \[ \begin{aligned} k &= 8,988\cdot10^9\,\text{N}\,\text{m}^2/\text{C}^2\\[1mm] Q &= 25,00\cdot10^{-9}\,\text{C}\\[1mm] L &= 0,2000\,\text{m}\\[1mm] g &= 9,80665\,\text{m/s}^2\\[1mm] \theta &= 12,00^\circ, \quad \sin(12,00^\circ)\approx0,20791, \quad \cos(12,00^\circ)\approx0,97815 \end{aligned} \] Calcoliamo \( Q^2 \): \[ Q^2=(25,00\cdot10^{-9})^2=625\cdot10^{-18}=6,25\cdot10^{-16}\,\text{C}^2 \] Calcoliamo il termine: \[ \frac{kQ^2}{4L^2g}=\frac{(8,988\cdot10^9)(6,25\cdot10^{-16})}{4\,(0,2000)^2\,(9,80665)} \] \[ (0,2000)^2=0,04000,\quad 4\,(0,04000)=0,1600 \] Pertanto il denominatore è: \[ 0,1600\cdot9,80665\approx1,56906 \] Il numeratore: \[ (8,988\cdot10^9)(6,25\cdot10^{-16})=8,988\cdot6,25\cdot10^{-7}\approx56,175\cdot10^{-7}=5,6175\cdot10^{-6} \] Quindi: \[ \frac{kQ^2}{4L^2g}\approx\frac{5,6175\cdot10^{-6}}{1,56906}\approx3,583\cdot10^{-6} \] Dunque: \[ m=3,583\cdot10^{-6}\cdot\frac{0,97815}{(0,20791)^3} \] Calcoliamo \((0,20791)^3\): \[ (0,20791)^3\approx0,009000 \quad (\text{approssimativamente}) \] Quindi: \[ \frac{0,97815}{0,009000}\approx108,683 \] Infine: \[ m\approx3,583\cdot10^{-6}\cdot108,683\approx3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg} \] Convertendo in milligrammi: \[ 3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg}=389,6\,\text{mg}\quad (\text{circa }389,7\text{ mg}) \] --- \[ \textbf{b. Calcolo della Tensione \( T \):} \] Dalla condizione verticale: \[ T\cos\theta=mg \quad\Rightarrow\quad T=\frac{mg}{\cos\theta} \] Utilizziamo il valore di \( m \) trovato: \[ T=\frac{(3,896\cdot10^{-4}\,\text{kg})(9,80665\,\text{m/s}^2)}{0,97815} \] Calcoliamo il numeratore: \[ (3,896\cdot10^{-4})(9,80665)\approx3,822\cdot10^{-3}\,\text{N} \] Quindi: \[ T\approx\frac{3,822\cdot10^{-3}}{0,97815}\approx3,908\cdot10^{-3}\,\text{N} \] --- \[ \textbf{Risposte Finali:} \] a. La massa di ciascuna sfera è \( m\approx389,7\,\text{mg} \). b. Il modulo della tensione di ciascun filo è \( T\approx3,908\cdot10^{-3}\,\text{N} \).