1. A right circular cylindrical container of base diameter 1 cm contains some water. Six identical metal spheres are totally immersed in water and the water level rises by 0.25 cm . Find the radius of each metal sphere correct to 3 significant figures. 2. A right circular cylindrical container of base radius 10 cm contains some water. Some identical metal spheres of radii 1.5 cm are totally immersed in water and the water level rises by 0.9 cm . Find the number of metal spheres put in the container.

Question

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**解題步驟：**

1. **題目一**

給定一個底面直徑 $$1$$ cm 的圓柱形容器，其底面半徑為  
   $$
   r_{\text{cyl}} = \frac{1}{2} = 0.5 \text{ cm}.
   $$
   當六個相同的金屬球完全浸沒在水中時，水面的上升高度為 $$0.25$$ cm。因為浸沒物體排開的水體積等於水面上升的體積，所以有
   
   - 圓柱形容器水面上升所增加的體積：
     $$
     V_{\text{水}} = \pi r_{\text{cyl}}^2 \times 0.25 = \pi (0.5)^2 \times 0.25 = \pi (0.25) \times 0.25 = 0.0625\pi \text{ cm}^3.
     $$
     
   - 每個金屬球的體積公式為  
     $$
     V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi r^3,
     $$
     因此六個球的總體積為
     $$
     6 \times \frac{4}{3}\pi r^3.
     $$
     
   令六個球的總體積等於水位上升增加的體積：
   $$
   6 \times \frac{4}{3}\pi r^3 = 0.0625\pi.
   $$
   兩邊同除以 $$\pi$$ 得：
   $$
   6 \times \frac{4}{3} r^3 = 0.0625.
   $$
   先計算係數：
   $$
   6 \times \frac{4}{3} = 8,
   $$
   故有
   $$
   8r^3 = 0.0625.
   $$
   求 $$r^3$$：
   $$
   r^3 = \frac{0.0625}{8} = 0.0078125.
   $$
   取立方根得：
   $$
   r = \sqrt[3]{0.0078125} \approx 0.198 \text{ cm} \quad (\text{精確到三位有效數字}).
   $$
   
2. **題目二**

給定一個底面半徑 $$10$$ cm 的圓柱形容器，水面上升 $$0.9$$ cm。首先求出水面上升增加的水體積：
   $$
   V_{\text{水}} = \pi (10)^2 \times 0.9 = 100\pi \times 0.9 = 90\pi \text{ cm}^3.
   $$
   
   每個金屬球的半徑為 $$1.5$$ cm，其體積為：
   $$
   V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi (1.5)^3.
   $$
   計算：
   $$
   (1.5)^3 = 3.375,
   $$
   因此
   $$
   V_{\text{球}} = \frac{4}{3}\pi \times 3.375 = 4.5\pi \text{ cm}^3.
   $$
   
   假設放入 $$n$$ 個金屬球，則排水體積為
   $$
   n \times 4.5\pi = 90\pi.
   $$
   兩邊除以 $$4.5\pi$$ 得：
   $$
   n = \frac{90\pi}{4.5\pi} = \frac{90}{4.5} = 20.
   $$

**最終答案：**

1. 每個金屬球的半徑約為 $$0.198$$ cm。
2. 放入的金屬球數量為 $$20$$ 個。
**解題步驟：** 1. **第一題** - 圓柱形容器底面半徑為 $$0.5$$ cm。 - 水面上升 $$0.25$$ cm，增加的水體積為 $$0.0625\pi$$ cm³。 - 六個金屬球的總體積為 $$0.0625\pi$$ cm³。 - 每個球的體積公式為 $$\frac{4}{3}\pi r^3$$。 - 計算得每個球的半徑約為 $$0.198$$ cm。 2. **第二題** - 圓柱形容器底面半徑為 $$10$$ cm，水面上升 $$0.9$$ cm，增加的水體積為 $$90\pi$$ cm³。 - 每個金屬球的體積為 $$4.5\pi$$ cm³。 - 計算得放入的金屬球數量為 $$20$$ 個。 **最終答案：** 1. 每個金屬球的半徑約為 $$0.198$$ cm。 2. 放入的金屬球數量為 $$20$$ 個。

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