Se lanza una flecha con una velocidad inicial de 25 \( \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). La altura de la flecha en función del tiempo está dada por. \( f(t)=-10 t^{2}+25 t \). ¿Para qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 3 m por encima del suelo?

Sea la función de altura \[ f(t) = -10t^2 + 25t. \] Queremos encontrar el intervalo de \( t \) para el cual \[ -10t^2 + 25t > 3. \] **Paso 1.** Plantear la inecuación: \[ -10t^2 + 25t - 3 > 0. \] **Paso 2.** Resolver la ecuación asociada \[ -10t^2 + 25t - 3 = 0. \] Multiplicamos la ecuación por \(-1\) (lo que no afecta las raíces): \[ 10t^2 - 25t + 3 = 0. \] **Paso 3.** Aplicar la fórmula general para encontrar las raíces. La fórmula es \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Aquí, \( a = 10 \), \( b = -25 \) y \( c = 3 \). Entonces, \[ t = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4\cdot10\cdot3}}{2\cdot10} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 120}}{20} = \frac{25 \pm \sqrt{505}}{20}. \] Así, las raíces son \[ t_1 = \frac{25 - \sqrt{505}}{20} \quad \text{y} \quad t_2 = \frac{25 + \sqrt{505}}{20}. \] **Paso 4.** Analizar el signo de la función. Dado que la función cuadrática \[ -10t^2 + 25t - 3 \] tiene coeficiente principal negativo (es decir, la parábola abre hacia abajo), la inecuación \(-10t^2 + 25t - 3 > 0\) se cumple entre las raíces. Es decir, \[ t \in \left(\frac{25 - \sqrt{505}}{20}, \frac{25 + \sqrt{505}}{20}\right). \] **Conclusión:** La flecha está a una altura superior a 3 metros cuando \[ \frac{25 - \sqrt{505}}{20} < t < \frac{25 + \sqrt{505}}{20}. \]