Pregunta
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Se lanza una flecha con una velocidad inicial de 25 \( \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). La altura de la flecha en función del tiempo está dada por. \( f(t)=-10 t^{2}+25 t \). ¿Para qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 3 m por encima del suelo?

Ask by Norton Norris. in Colombia
Mar 11,2025

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Respuesta verificada por el tutor

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La flecha está a una altura superior a 3 metros entre los tiempos \[ \frac{25 - \sqrt{505}}{20} \quad \text{y} \quad \frac{25 + \sqrt{505}}{20} \, \text{segundos}. \]

Solución

Sea la función de altura \[ f(t) = -10t^2 + 25t. \] Queremos encontrar el intervalo de \( t \) para el cual \[ -10t^2 + 25t > 3. \] **Paso 1.** Plantear la inecuación: \[ -10t^2 + 25t - 3 > 0. \] **Paso 2.** Resolver la ecuación asociada \[ -10t^2 + 25t - 3 = 0. \] Multiplicamos la ecuación por \(-1\) (lo que no afecta las raíces): \[ 10t^2 - 25t + 3 = 0. \] **Paso 3.** Aplicar la fórmula general para encontrar las raíces. La fórmula es \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. \] Aquí, \( a = 10 \), \( b = -25 \) y \( c = 3 \). Entonces, \[ t = \frac{-(-25) \pm \sqrt{(-25)^2 - 4\cdot10\cdot3}}{2\cdot10} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 120}}{20} = \frac{25 \pm \sqrt{505}}{20}. \] Así, las raíces son \[ t_1 = \frac{25 - \sqrt{505}}{20} \quad \text{y} \quad t_2 = \frac{25 + \sqrt{505}}{20}. \] **Paso 4.** Analizar el signo de la función. Dado que la función cuadrática \[ -10t^2 + 25t - 3 \] tiene coeficiente principal negativo (es decir, la parábola abre hacia abajo), la inecuación \(-10t^2 + 25t - 3 > 0\) se cumple entre las raíces. Es decir, \[ t \in \left(\frac{25 - \sqrt{505}}{20}, \frac{25 + \sqrt{505}}{20}\right). \] **Conclusión:** La flecha está a una altura superior a 3 metros cuando \[ \frac{25 - \sqrt{505}}{20} < t < \frac{25 + \sqrt{505}}{20}. \]

Respondido por UpStudy AI y revisado por un tutor profesional

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Beyond the Answer

Para encontrar el intervalo de tiempo en el que la flecha está a una altura superior a 3 m, debemos plantear la desigualdad \( f(t) > 3 \). Empezamos por igualar la función de altura a 3: \[ -10t^{2} + 25t = 3 \] Reorganizamos la ecuación: \[ -10t^{2} + 25t - 3 = 0 \] Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = -10 \), \( b = 25 \), y \( c = -3 \). Al resolver esto, encontraréis los valores de \( t \) que nos darán los puntos de intersección. Una vez obtenidos estos valores, probamos intervalos entre y fuera de los puntos encontrados en la parábola para determinar donde la función es mayor que 3. Dependiendo de los resultados, podremos identificar el intervalo de tiempo deseado. Por ejemplo, supongamos que el cálculo revela las raíces en \( t_1 \) y \( t_2 \). En función de la forma de la parábola, sabremos que \( f(t) > 3 \) entre esos dos tiempos. La solución te entrega clara información sobre el trayecto de la flecha y te lleva a reflexionar sobre la trayectoria proyectada por cualquier objeto lanzado en el aire. Es fascinante ver la matemática detrás de una simple flecha volando, ¿verdad?

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