Se lanza una flecha con una velocidad inicial de 25 \( \mathrm{~m} / \mathrm{s} \). La altura de la flecha en función del tiempo está dada por. \( f(t)=-10 t^{2}+25 t \). ¿Para qué intervalo de tiempo la flecha está a una altura superior a 3 m por encima del suelo?
Solución de inteligencia artificial de Upstudy
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Solución
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Beyond the Answer
Para encontrar el intervalo de tiempo en el que la flecha está a una altura superior a 3 m, debemos plantear la desigualdad \( f(t) > 3 \). Empezamos por igualar la función de altura a 3: \[ -10t^{2} + 25t = 3 \] Reorganizamos la ecuación: \[ -10t^{2} + 25t - 3 = 0 \] Utilizamos la fórmula cuadrática: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] donde \( a = -10 \), \( b = 25 \), y \( c = -3 \). Al resolver esto, encontraréis los valores de \( t \) que nos darán los puntos de intersección. Una vez obtenidos estos valores, probamos intervalos entre y fuera de los puntos encontrados en la parábola para determinar donde la función es mayor que 3. Dependiendo de los resultados, podremos identificar el intervalo de tiempo deseado. Por ejemplo, supongamos que el cálculo revela las raíces en \( t_1 \) y \( t_2 \). En función de la forma de la parábola, sabremos que \( f(t) > 3 \) entre esos dos tiempos. La solución te entrega clara información sobre el trayecto de la flecha y te lleva a reflexionar sobre la trayectoria proyectada por cualquier objeto lanzado en el aire. Es fascinante ver la matemática detrás de una simple flecha volando, ¿verdad?
