В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 4 см и 3 см. Найдите площадь треугольника.

Обозначим стороны прямоугольного треугольника как a, b (катеты) и c (гипотенуза). По условию c = 7 см, а точка касания вписанной окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной 4 и 3 см. Приписывая треугольнику вершины A, B и C так, чтобы гипотенуза AB имела длину 7 см и точка касания D делила её так, что AD = 4 см, DB = 3 см, воспользуемся следующим фактом: если s – полупериметр треугольника, то длина отрезка от вершины, лежащей на гипотенузе, до точки касания равна s – соответствующая сторона. Пусть:   s – полупериметр,    a = BC,    b = AC,    c = AB = 7. Тогда касательные из вершин A и B к вписанному кругу имеют длины:   s – a = AD = 4,   s – b = DB = 3. Найдем s через стороны:   s = (a + b + c)/2 = (a + b + 7)/2. Поскольку:   s – a = (a + b + 7)/2 – a = (b + 7 – a)/2 = 4  →  b + 7 – a = 8  →  b – a = 1  (1),   s – b = (a + b + 7)/2 – b = (a + 7 – b)/2 = 3  →  a + 7 – b = 6  →  a – b = -1  (2). Из (1) получаем b = a + 1. Так как треугольник прямоугольный (прямой угол при C), верно:   a² + b² = c² = 49. Подставляем b = a + 1:   a² + (a + 1)² = 49,   a² + (a² + 2a + 1) = 49,   2a² + 2a + 1 = 49,   2a² + 2a − 48 = 0,   a² + a − 24 = 0. Это квадратное уравнение, его корни удовлетворяют:   a² + a = 24  →  a(a + 1) = 24. Площадь прямоугольного треугольника равна:   S = (1/2)·a·b = (1/2)·a·(a + 1) = (1/2)·24 = 12 (см²). Таким образом, площадь треугольника равна 12 см².