[2] Determinare due vettori geometrici, \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \), il primo parallelo al piano \( \mathbf{y z} \), il secondo parallelo alla retta \[ \left\{\begin{array}{l} x+y-z+4=0 \\ 2 x-z=3 \end{array}\right. \] e tali che \[ \mathbf{u}+\mathbf{v}=(4,2,0) \]

Per determinare i vettori geometrici \( \mathbf{u} \) e \( \mathbf{v} \) che soddisfano le condizioni date, iniziamo analizzando le informazioni fornite. Il vettore \( \mathbf{u} \) deve essere parallelo al piano \( \mathbf{y z} \); quindi, può essere descritto come \( \mathbf{u} = (0, a, b) \), dove \( a \) e \( b \) sono numeri reali. Per \( \mathbf{v} \), che deve essere parallelo alla retta definita dalle due equazioni, procederemo a trovare un vettore direttore per quella retta. Risolvendo il sistema di equazioni, possiamo esprimere \( z \) in funzione di \( x \) e \( y \) e trovare un punto che soddisfa entrambe le condizioni. Risolviamo: 1. Dalla prima equazione \( x + y - z + 4 = 0 \) otteniamo \( z = x + y + 4 \). 2. Sostituiamo nella seconda equazione \( 2x - (x + y + 4) = 3 \): \[ 2x - x - y - 4 = 3 \implies x - y = 7 \implies y = x - 7 \] Sostituiamo \( y \) nella formula di \( z \): \[ z = x + (x - 7) + 4 \implies z = 2x - 3 \] Adesso, un vettore direttore della retta può essere ottenuto considerando incrementi per \( x \) e \( y \). Scegliendo \( x = 1 \) (da cui \( y = -6 \) e \( z = -1 \)), otteniamo il punto \( (1, -6, -1) \). Se prendiamo \( x = 1 + t \), abbiamo: \[ y = (1 + t) - 7 = -6 + t \quad e \quad z = 2(1 + t) - 3 = -1 + 2t \] Il vettore direttore può quindi essere descritto come \( \mathbf{v} = (1, 1, 2) \), dopo aver sottratto il punto di partenza del vettore. Ora, sappiamo che: \[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = (4, 2, 0) \] Sostituiamo \(\mathbf{v}\): \[ \mathbf{u} + (1, 1, 2) = (4, 2, 0) \implies \mathbf{u} = (4 - 1, 2 - 1, 0 - 2) = (3, 1, -2) \] Quindi, i vettori geometrici richiesti sono: \[ \mathbf{u} = (3, 1, -2) \qquad \text{e} \qquad \mathbf{v} = (1, 1, 2). \]