กำหนดให้ \( f(x, y)=5 x^{2} y^{3}+\sin (x y)-e^{2 y} \) จจงหา \( f_{y y} \)

เริ่มต้นด้วยการหาค่าอนุพันธ์อันดับแรกของฟังก์ชัน \( f(x, y) \) ตามตัวแปร \( y \): \[ f(x, y) = 5 x^{2} y^{3} + \sin(xy) - e^{2y} \] เราจะหาค่า \( f_y \) (อนุพันธ์อันดับแรกตาม \( y \)): \[ f_y = \frac{\partial}{\partial y}(5 x^{2} y^{3}) + \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) - \frac{\partial}{\partial y}(e^{2y}) \] สำหรับส่วนแรก: \(\frac{\partial}{\partial y}(5 x^{2} y^{3}) = 15 x^{2} y^{2}\) สำหรับส่วนที่สอง ใช้กฎของการอนุพันธ์ของฟังก์ชันประกอบ: \(\frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) = x \cos(xy)\) และสำหรับส่วนสุดท้าย: \(\frac{\partial}{\partial y}(e^{2y}) = 2e^{2y}\) เมื่อรวมทั้งหมดเข้าด้วยกัน: \[ f_y = 15 x^{2} y^{2} + x \cos(xy) - 2 e^{2y} \] ถัดไปเราจะหาค่า \( f_{yy} \) (อนุพันธ์อันดับสองตาม \( y \)) โดยการอนุพันธ์ \( f_y \) อีกครั้งตาม \( y \): \[ f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}(15 x^{2} y^{2}) + \frac{\partial}{\partial y}(x \cos(xy)) - \frac{\partial}{\partial y}(2 e^{2y}) \] สำหรับส่วนแรก: \(\frac{\partial}{\partial y}(15 x^{2} y^{2}) = 30 x^{2} y\) สำหรับส่วนที่สอง ใช้กฎลูกโซ่: \(\frac{\partial}{\partial y}(x \cos(xy)) = -x^2 \sin(xy)\) และสำหรับส่วนสุดท้าย: \(\frac{\partial}{\partial y}(2 e^{2y}) = 4 e^{2y}\) รวมทั้งหมดเราจะได้: \[ f_{yy} = 30 x^{2} y - x^{2} \sin(xy) - 4 e^{2y} \] ดังนั้นคำตอบสุดท้ายคือ: \[ f_{yy} = 30 x^{2} y - x^{2} \sin(xy) - 4 e^{2y} \]