1. Em 1937, o estadunidense Raymond Haugh criou a unidade de medida Haugh (UH), que é usada até hoje para medir a qualidade interna dos ovos. Considere a equação: $$ Q_{i}=100 \cdot \log \left(H+7,57-1,7 p^{0,37}\right) $$ Em que $$ Q_{\text {i é a qualidade interna do ovo, em } U H ; H \text { é a espes- }}^{\text {sura da albumina (clara do ovo), em milímetros; e p é o peso }} $$ do ovo (com a casca), em gramas. a) Considere um ovo de peso igual a 56,7 gramas e com espessura da albumina igual a 6,08 milímetros. Calcule a qualidade interna desse ovo, em UH. (Dados: log $$ 2=0,3 $$, log $$ 3=0,47 $$ e $$ 56,70,37=4,5 $$ ) b) A qualidade dos ovos é avaliada de acordo com os seguintes valores: inferior (B): $$ Q_{i}72 $$. Considere ovos com o mesmo peso do ovo do item a e descreva os intervalos de qualidade do ovo de acordo com a espessura da albumina $$ H $$.

Question

1. Em 1937, o estadunidense Raymond Haugh criou a unidade de medida Haugh (UH), que é usada até hoje para medir a qualidade interna dos ovos. Considere a equação: $$ Q_{i}=100 \cdot \log \left(H+7,57-1,7 p^{0,37}\right) $$ Em que $$ Q_{\text {i é a qualidade interna do ovo, em } U H ; H \text { é a espes- }}^{\text {sura da albumina (clara do ovo), em milímetros; e p é o peso }} $$ do ovo (com a casca), em gramas. a) Considere um ovo de peso igual a 56,7 gramas e com espessura da albumina igual a 6,08 milímetros. Calcule a qualidade interna desse ovo, em UH. (Dados: log $$ 2=0,3 $$, log $$ 3=0,47 $$ e $$ 56,70,37=4,5 $$ ) b) A qualidade dos ovos é avaliada de acordo com os seguintes valores: inferior (B): $$ Q_{i}<60 $$; - alta (A): $$ 60 \leq Q_{i} \leq 72 $$; excelente $$ (A A): Q_{i}>72 $$. Considere ovos com o mesmo peso do ovo do item a e descreva os intervalos de qualidade do ovo de acordo com a espessura da albumina $$ H $$.

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**a)** Dado o ovo com - Peso: $$p = 56{,}7$$ g - Espessura da albumina: $$H = 6{,}08$$ mm A equação dada é $$ Q_i = 100 \cdot \log\Bigl(H + 7{,}57 - 1{,}7\, p^{0{,}37}\Bigr) $$ Foi informado que $$ p^{0{,}37} \approx 4{,}5. $$ Substituindo os valores temos: $$ H + 7{,}57 - 1{,}7 \cdot 4{,}5 = 6{,}08 + 7{,}57 - 7{,}65. $$ Calculando: $$ 6{,}08 + 7{,}57 = 13{,}65, $$ $$ 13{,}65 - 7{,}65 = 6{,}00. $$ Portanto, $$ Q_i = 100 \cdot \log(6{,}00). $$ Sabendo que a função logaritmo é de base 10 e utilizando as aproximações fornecidas, note que $$ \log(6) = \log(2 \cdot 3) = \log(2) + \log(3) \approx 0{,}3 + 0{,}47 = 0{,}77. $$ Logo, $$ Q_i \approx 100 \cdot 0{,}77 = 77. $$ Assim, a qualidade interna do ovo é de aproximadamente $$77\,UH$$. --- **b)** Agora, considerando ovos com o mesmo peso ($$p = 56{,}7$$ g), a equação se torna: $$ Q_i = 100 \cdot \log\Bigl(H + 7{,}57 - 1{,}7\, p^{0{,}37}\Bigr) = 100 \cdot \log\Bigl(H + 7{,}57 - 7{,}65\Bigr) $$ pois $$1{,}7\, p^{0{,}37} = 1{,}7 \cdot 4{,}5 = 7{,}65$$. Assim: $$ Q_i = 100 \cdot \log\Bigl(H - 0{,}08\Bigr). $$ A classificação dos ovos é dada por: - Categoria "inferior (B)" se $$\,Q_i < 60$$; - Categoria "alta (A)" se $$60 \le Q_i \le 72$$; - Categoria "excelente (AA)" se $$Q_i > 72$$. Para determinar os intervalos de $$H$$ correspondentes, devemos resolver as equações-limite. 1. Para $$Q_i = 60$$: $$ 60 = 100 \cdot \log\Bigl(H - 0{,}08\Bigr) $$ Dividindo ambos os lados por 100: $$ \log\Bigl(H - 0{,}08\Bigr) = 0{,}6. $$ Convertendo a forma logarítmica em exponencial: $$ H - 0{,}08 = 10^{0{,}6}. $$ Conhecendo que $$10^{0{,}6} \approx 3{,}98$$, temos: $$ H \approx 3{,}98 + 0{,}08 = 4{,}06\text{ mm}. $$ 2. Para $$Q_i = 72$$: $$ 72 = 100 \cdot \log\Bigl(H - 0{,}08\Bigr) $$ Dividindo por 100: $$ \log\Bigl(H - 0{,}08\Bigr) = 0{,}72. $$ Assim, $$ H - 0{,}08 = 10^{0{,}72}. $$ Aproximadamente, $$10^{0{,}72} \approx 5{,}25$$ (pois $$\log(5{,}25) \approx 0{,}72$$). Logo: $$ H \approx 5{,}25 + 0{,}08 = 5{,}33\text{ mm}. $$ Com isto, os intervalos de qualidade do ovo, em função da espessura da albumina $$H$$, são: - Para $$Q_i < 60$$ (categoria inferior B): $$ H - 0{,}08 < 10^{0{,}6} \quad \Rightarrow \quad H < 4{,}06\text{ mm}. $$ - Para $$60 \le Q_i \le 72$$ (categoria alta A): $$ 4{,}06\text{ mm} \le H \le 5{,}33\text{ mm}. $$ - Para $$Q_i > 72$$ (categoria excelente AA): $$ H > 5{,}33\text{ mm}. $$ **a)** O ovo tem uma qualidade interna de aproximadamente $$77\,UH$$. **b)** Os intervalos de qualidade do ovo, em função da espessura da albumina $$H$$, são: - **Inferior (B):** $$H < 4{,}06\,mm$$ - **Alta (A):** $$4{,}06\,mm \leq H \leq 5{,}33\,mm$$ - **Excelente (AA):** $$H > 5{,}33\,mm$$

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