E. Dos ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) se llaman complementarios si la suma de sus medidas es igual a la me- dida de un ángulo recto, es decir, si \( \alpha+\beta=90^{\circ} \). Para cada uno de los siguientes ángulos encuentra su ángulo complementario, en radianes \( y \) en grados. \( \begin{array}{llllll}\text { 1. } 12^{\circ} & \text { 2. } 15^{\circ} & \text { 3. } 23^{\circ} & \text { 4. } \frac{\pi}{180} & \text { 5. } \frac{5 \pi}{12} & \text { 6. } \frac{2 \pi}{9}\end{array} \) 7. \( \frac{13 \pi}{36} \)

Para encontrar el ángulo complementario de cada uno de los ángulos dados, utilizaremos la relación \( \alpha + \beta = 90^{\circ} \). Esto significa que el ángulo complementario \( \beta \) se puede calcular como \( \beta = 90^{\circ} - \alpha \). Primero, convertiremos \( 90^{\circ} \) a radianes, ya que necesitamos los resultados en ambas unidades. Sabemos que: \[ 90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \text{ radianes} \] Ahora, procederemos a calcular el ángulo complementario para cada uno de los ángulos dados. ### 1. Para \( 12^{\circ} \): \[ \beta = 90^{\circ} - 12^{\circ} = 78^{\circ} \] Convertimos \( 78^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 78^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{78\pi}{180} = \frac{13\pi}{30} \text{ radianes} \] ### 2. Para \( 15^{\circ} \): \[ \beta = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ} \] Convertimos \( 75^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 75^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \text{ radianes} \] ### 3. Para \( 23^{\circ} \): \[ \beta = 90^{\circ} - 23^{\circ} = 67^{\circ} \] Convertimos \( 67^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 67^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{67\pi}{180} \text{ radianes} \] ### 4. Para \( \frac{\pi}{180} \): Convertimos \( \frac{\pi}{180} \) a grados: \[ \alpha = \frac{\pi}{180} \times \frac{180}{\pi} = 1^{\circ} \] Calculamos el complementario: \[ \beta = 90^{\circ} - 1^{\circ} = 89^{\circ} \] Convertimos \( 89^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 89^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{89\pi}{180} \text{ radianes} \] ### 5. Para \( \frac{5\pi}{12} \): Convertimos \( \frac{5\pi}{12} \) a grados: \[ \alpha = \frac{5\pi}{12} \times \frac{180}{\pi} = 75^{\circ} \] Calculamos el complementario: \[ \beta = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ} \] Convertimos \( 15^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 15^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \text{ radianes} \] ### 6. Para \( \frac{2\pi}{9} \): Convertimos \( \frac{2\pi}{9} \) a grados: \[ \alpha = \frac{2\pi}{9} \times \frac{180}{\pi} = 40^{\circ} \] Calculamos el complementario: \[ \beta = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \] Convertimos \( 50^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 50^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \text{ radianes} \] ### 7. Para \( \frac{13\pi}{36} \): Convertimos \( \frac{13\pi}{36} \) a grados: \[ \alpha = \frac{13\pi}{36} \times \frac{180}{\pi} = 65^{\circ} \] Calculamos el complementario: \[ \beta = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ} \] Convertimos \( 25^{\circ} \) a radianes: \[ \beta = 25^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{36} \text{ radianes} \] ### Resumen de resultados: 1. \( 12^{\circ} \) → \( 78^{\circ} \) y \( \frac{13\pi}{30} \) 2. \( 15^{\circ} \) → \( 75^{\circ} \) y \( \frac{5\pi}{12} \) 3. \( 23^{\circ} \) → \( 67^{\circ} \) y \( \frac{67\pi}{180} \) 4. \( \frac{\pi}{180} \) → \( 89^{\circ} \) y \( \frac{89\pi}{180} \) 5. \( \frac{5\pi}{12} \) → \( 15^{\circ} \) y \( \frac{\pi}{12} \) 6. \( \frac{2\pi}{9} \) → \( 50^{\circ} \) y \( \frac{5\pi}{18} \) 7. \( \frac{13\pi}{36} \) → \( 25^{\circ} \) y \( \frac{5\pi}{36} \)