E. Dos ángulos $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ se llaman complementarios si la suma de sus medidas es igual a la me- dida de un ángulo recto, es decir, si $$ \alpha+\beta=90^{\circ} $$. Para cada uno de los siguientes ángulos encuentra su ángulo complementario, en radianes $$ y $$ en grados. $$ \begin{array}{llllll} ext { 1. } 12^{\circ} & ext { 2. } 15^{\circ} & ext { 3. } 23^{\circ} & ext { 4. } \frac{\pi}{180} & ext { 5. } \frac{5 \pi}{12} & ext { 6. } \frac{2 \pi}{9}\end{array} $$ 7. $$ \frac{13 \pi}{36} $$

Question

E. Dos ángulos $$ \alpha $$ y $$ \beta $$ se llaman complementarios si la suma de sus medidas es igual a la me- dida de un ángulo recto, es decir, si $$ \alpha+\beta=90^{\circ} $$. Para cada uno de los siguientes ángulos encuentra su ángulo complementario, en radianes $$ y $$ en grados. $$ \begin{array}{llllll}	ext { 1. } 12^{\circ} & 	ext { 2. } 15^{\circ} & 	ext { 3. } 23^{\circ} & 	ext { 4. } \frac{\pi}{180} & 	ext { 5. } \frac{5 \pi}{12} & 	ext { 6. } \frac{2 \pi}{9}\end{array} $$ 7. $$ \frac{13 \pi}{36} $$

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Para encontrar el ángulo complementario de cada uno de los ángulos dados, utilizaremos la relación $$ \alpha + \beta = 90^{\circ} $$. Esto significa que el ángulo complementario $$ \beta $$ se puede calcular como $$ \beta = 90^{\circ} - \alpha $$.

Primero, convertiremos $$ 90^{\circ} $$ a radianes, ya que necesitamos los resultados en ambas unidades. Sabemos que:

$$
90^{\circ} = \frac{\pi}{2} \text{ radianes}
$$

Ahora, procederemos a calcular el ángulo complementario para cada uno de los ángulos dados.

### 1. Para $$ 12^{\circ} $$:
$$
\beta = 90^{\circ} - 12^{\circ} = 78^{\circ}
$$
Convertimos $$ 78^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 78^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{78\pi}{180} = \frac{13\pi}{30} \text{ radianes}
$$

### 2. Para $$ 15^{\circ} $$:
$$
\beta = 90^{\circ} - 15^{\circ} = 75^{\circ}
$$
Convertimos $$ 75^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 75^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{75\pi}{180} = \frac{5\pi}{12} \text{ radianes}
$$

### 3. Para $$ 23^{\circ} $$:
$$
\beta = 90^{\circ} - 23^{\circ} = 67^{\circ}
$$
Convertimos $$ 67^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 67^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{67\pi}{180} \text{ radianes}
$$

### 4. Para $$ \frac{\pi}{180} $$:
Convertimos $$ \frac{\pi}{180} $$ a grados:
$$
\alpha = \frac{\pi}{180} \times \frac{180}{\pi} = 1^{\circ}
$$
Calculamos el complementario:
$$
\beta = 90^{\circ} - 1^{\circ} = 89^{\circ}
$$
Convertimos $$ 89^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 89^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{89\pi}{180} \text{ radianes}
$$

### 5. Para $$ \frac{5\pi}{12} $$:
Convertimos $$ \frac{5\pi}{12} $$ a grados:
$$
\alpha = \frac{5\pi}{12} \times \frac{180}{\pi} = 75^{\circ}
$$
Calculamos el complementario:
$$
\beta = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}
$$
Convertimos $$ 15^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 15^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{12} \text{ radianes}
$$

### 6. Para $$ \frac{2\pi}{9} $$:
Convertimos $$ \frac{2\pi}{9} $$ a grados:
$$
\alpha = \frac{2\pi}{9} \times \frac{180}{\pi} = 40^{\circ}
$$
Calculamos el complementario:
$$
\beta = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ}
$$
Convertimos $$ 50^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 50^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{18} \text{ radianes}
$$

### 7. Para $$ \frac{13\pi}{36} $$:
Convertimos $$ \frac{13\pi}{36} $$ a grados:
$$
\alpha = \frac{13\pi}{36} \times \frac{180}{\pi} = 65^{\circ}
$$
Calculamos el complementario:
$$
\beta = 90^{\circ} - 65^{\circ} = 25^{\circ}
$$
Convertimos $$ 25^{\circ} $$ a radianes:
$$
\beta = 25^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{5\pi}{36} \text{ radianes}
$$

### Resumen de resultados:
1. $$ 12^{\circ} $$ → $$ 78^{\circ} $$ y $$ \frac{13\pi}{30} $$
2. $$ 15^{\circ} $$ → $$ 75^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{12} $$
3. $$ 23^{\circ} $$ → $$ 67^{\circ} $$ y $$ \frac{67\pi}{180} $$
4. $$ \frac{\pi}{180} $$ → $$ 89^{\circ} $$ y $$ \frac{89\pi}{180} $$
5. $$ \frac{5\pi}{12} $$ → $$ 15^{\circ} $$ y $$ \frac{\pi}{12} $$
6. $$ \frac{2\pi}{9} $$ → $$ 50^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{18} $$
7. $$ \frac{13\pi}{36} $$ → $$ 25^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{36} $$
Aquí están los ángulos complementarios para cada uno de los ángulos dados, tanto en grados como en radianes: 1. $$ 12^{\circ} $$ → $$ 78^{\circ} $$ y $$ \frac{13\pi}{30} $$ radianes 2. $$ 15^{\circ} $$ → $$ 75^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{12} $$ radianes 3. $$ 23^{\circ} $$ → $$ 67^{\circ} $$ y $$ \frac{67\pi}{180} $$ radianes 4. $$ \frac{\pi}{180} $$ → $$ 89^{\circ} $$ y $$ \frac{89\pi}{180} $$ radianes 5. $$ \frac{5\pi}{12} $$ → $$ 15^{\circ} $$ y $$ \frac{\pi}{12} $$ radianes 6. $$ \frac{2\pi}{9} $$ → $$ 50^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{18} $$ radianes 7. $$ \frac{13\pi}{36} $$ → $$ 25^{\circ} $$ y $$ \frac{5\pi}{36} $$ radianes

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