compounded weekly. If the original amount deposited was $$ \$ 500 $$, how much interest will she have earned after 10 years? $$ P=50500(1.00 .0653846)^{520} $$ $$ R=0.034 $$ $$ A=52 $$ $$ t=10 $$ 10. Mr. and Mrs. Rainer took out a $$ \$ 240,000 $$ loan to purchase their home. If the interest rate on the loan is $$ 1.2 \% $$ compounded bimonthly, how much interest will they have paid after 30 years? $$ P=240,000 \quad A= $$

Question

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Para resolver el problema de interés compuesto, utilizaremos la fórmula del monto acumulado $$ A $$ en una inversión con interés compuesto:

$$
A = P \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{nt}
$$

donde:
- $$ A $$ es el monto total después del tiempo $$ t $$,
- $$ P $$ es el capital inicial (monto depositado),
- $$ r $$ es la tasa de interés anual (en forma decimal),
- $$ n $$ es el número de veces que se capitaliza el interés por año,
- $$ t $$ es el número de años.

### Problema 1: Interés ganado después de 10 años

**Datos:**
- $$ P = 500 $$
- $$ r = 0.0653846 $$ (tasa de interés)
- $$ n = 52 $$ (capitalización semanal)
- $$ t = 10 $$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$
A = 500 \left(1 + \frac{0.0653846}{52}\right)^{52 \times 10}
$$

Ahora, calculamos el monto $$ A $$ y luego el interés ganado $$ I $$:

$$
I = A - P
$$

### Problema 2: Interés pagado después de 30 años

**Datos:**
- $$ P = 240,000 $$
- $$ r = 0.012 $$ (tasa de interés)
- $$ n = 6 $$ (capitalización bimestral)
- $$ t = 30 $$

Sustituyendo los valores en la fórmula:

$$
A = 240,000 \left(1 + \frac{0.012}{6}\right)^{6 \times 30}
$$

Calcularemos ambos montos $$ A $$ y luego el interés pagado $$ I $$:

$$
I = A - P
$$

Ahora procederé a realizar los cálculos.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$240000\left(1+\left(\frac{0.012}{6}\right)\right)^{6\times 30}$$
- step1: Divide the terms:
  $$240000\left(1+\frac{1}{500}\right)^{6\times 30}$$
- step2: Add the numbers:
  $$240000\left(\frac{501}{500}\right)^{6\times 30}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$240000\left(\frac{501}{500}\right)^{180}$$
- step4: Simplify:
  $$240000\times \frac{501^{180}}{500^{180}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$500\times 480\times \frac{501^{180}}{500^{180}}$$
- step6: Reduce the numbers:
  $$480\times \frac{501^{180}}{500^{179}}$$
- step7: Rewrite the expression:
  $$20\times 24\times \frac{501^{180}}{500^{179}}$$
- step8: Rewrite the expression:
  $$20\times 24\times \frac{501^{180}}{20^{179}\times 25^{179}}$$
- step9: Reduce the numbers:
  $$24\times \frac{501^{180}}{20^{178}\times 25^{179}}$$
- step10: Rewrite the expression:
  $$8\times 3\times \frac{501^{180}}{20^{178}\times 25^{179}}$$
- step11: Rewrite the expression:
  $$8\times 3\times \frac{501^{180}}{4^{178}\times 5^{178}\times 25^{179}}$$
- step12: Rewrite the expression:
  $$2^{3}\times 3\times \frac{501^{180}}{2^{356}\times 5^{178}\times 25^{179}}$$
- step13: Reduce the numbers:
  $$3\times \frac{501^{180}}{2^{353}\times 5^{178}\times 25^{179}}$$
- step14: Multiply the fractions:
  $$\frac{3\times 501^{180}}{2^{353}\times 5^{536}}$$
Calculate or simplify the expression $$ 500 * (1 + (0.0653846 / 52))^(52 * 10) $$.
Calculate the value by following steps:
- step0: Calculate:
  $$500\left(1+\left(\frac{0.0653846}{52}\right)\right)^{52\times 10}$$
- step1: Divide the terms:
  $$500\left(1+\frac{326923}{260000000}\right)^{52\times 10}$$
- step2: Add the numbers:
  $$500\left(\frac{260326923}{260000000}\right)^{52\times 10}$$
- step3: Multiply the numbers:
  $$500\left(\frac{260326923}{260000000}\right)^{520}$$
- step4: Simplify:
  $$500\times \frac{260326923^{520}}{260000000^{520}}$$
- step5: Rewrite the expression:
  $$500\times \frac{260326923^{520}}{250000^{520}\times 1040^{520}}$$
- step6: Rewrite the expression:
  $$500\times \frac{260326923^{520}}{500^{1040}\times 1040^{520}}$$
- step7: Reduce the numbers:
  $$1\times \frac{260326923^{520}}{500^{1039}\times 1040^{520}}$$
- step8: Multiply the fractions:
  $$\frac{260326923^{520}}{500^{1039}\times 1040^{520}}$$
### Cálculos Realizados

1. **Interés ganado después de 10 años:**
   - Monto acumulado $$ A $$:
   $$
   A \approx 961.07
   $$
   - Interés ganado $$ I $$:
   $$
   I = A - P = 961.07 - 500 \approx 461.07
   $$

2. **Interés pagado después de 30 años:**
   - Monto acumulado $$ A $$:
   $$
   A \approx 343875.41
   $$
   - Interés pagado $$ I $$:
   $$
   I = A - P = 343875.41 - 240000 \approx 103875.41
   $$

### Resultados Finales

- **Interés ganado después de 10 años:** aproximadamente $$ \$ 461.07 $$.
- **Interés pagado después de 30 años:** aproximadamente $$ \$ 103875.41 $$.
Después de 10 años, la persona ganará aproximadamente \$461.07 de interés. Después de 30 años, Mr. y Mrs. Rainer pagarán aproximadamente \$103,875.41 de interés.

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