Po Primero, observemos la expresión d \( f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{(x-1)^{2}} \ln \left(x^{2}+2\right)+11 x \)

Analicemos la función   f(x) = (√(x² + 4) / (x – 1)²) · ln(x² + 2) + 11x y destaquemos algunos de sus aspectos principales. 1. Dominio de definición  • El término √(x² + 4) está definido para todo x ∈ ℝ, ya que x² + 4 ≥ 4 > 0.  • El logaritmo natural ln(x² + 2) requiere que x² + 2 > 0, lo cual se cumple para todo x ∈ ℝ.  • El denominador (x – 1)² se anula en x = 1, de modo que en ese punto la función no está definida. Por ello, el dominio de f es:   D(f) = ℝ \ {1}. 2. Componentes y estructura de la función La función se compone de dos términos:  a) Término “complicado”:  (√(x² + 4) / (x – 1)²) · ln(x² + 2).  b) Término lineal:  11x. En el primer término se combinan una raíz, un logaritmo y una función racional (por el denominador al cuadrado). Debido a que (x – 1)² nunca es negativo, salvo en el punto x = 1 donde la función presenta una discontinuidad, el signo del primer término dependerá de ln(x² + 2) y de √(x² + 4) (este último siempre es positivo). 3. Comportamiento en x = 1 En x = 1 el denominador se hace 0, lo que indica la posibilidad de una discontinuidad o asíntota vertical. Será necesario analizar el límite cuando x se acerca a 1 para caracterizar dicho comportamiento, pero observamos de entrada que la función no está definida en x = 1. 4. Comportamiento asintótico para |x| grande Para valores grandes de |x| se pueden hacer aproximaciones:  • La raíz: √(x² + 4) ≈ |x|,  • El logaritmo: ln(x² + 2) ≈ ln(x²) = 2 ln|x|,  • El denominador: (x – 1)² ≈ x². Por ello, el primer término se comporta asintóticamente como:   (|x|/x²) · 2 ln|x| = (2 ln|x|)/|x|, la cual tiende a 0 cuando |x| → ∞. El segundo término, 11x, domina el comportamiento para |x| grande, de modo que la función tiene una especie de asíntota lineal dada por y ≈ 11x. 5. Otros aspectos a considerar - La función es continua y diferenciable en todo su dominio (ℝ sin x = 1), a pesar de su expresión compleja. - El estudio detallado de derivadas podría revelar puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y la existencia de posibles extremos locales, lo cual complementaría el análisis gráfico o cualitativo de f(x). En resumen, f(x) presenta una discontinuidad en x = 1, tiene un comportamiento asintótico lineal para x → ±∞ (dominada por el término 11x) y su estructura compuesta (raíz, logaritmo y función racional) ofrece interesantes características para un estudio más profundo.