Po Primero, observemos la expresión d $$ f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{(x-1)^{2}} \ln \left(x^{2}+2\right)+11 x $$

Question

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Analicemos la función

f(x) = (√(x² + 4) / (x – 1)²) · ln(x² + 2) + 11x

y destaquemos algunos de sus aspectos principales.

1. Dominio de definición  
 • El término √(x² + 4) está definido para todo x ∈ ℝ, ya que x² + 4 ≥ 4 > 0.  
 • El logaritmo natural ln(x² + 2) requiere que x² + 2 > 0, lo cual se cumple para todo x ∈ ℝ.  
 • El denominador (x – 1)² se anula en x = 1, de modo que en ese punto la función no está definida.

Por ello, el dominio de f es:  
  D(f) = ℝ \ {1}.

2. Componentes y estructura de la función  
La función se compone de dos términos:  
 a) Término “complicado”:  (√(x² + 4) / (x – 1)²) · ln(x² + 2).  
 b) Término lineal:  11x.

En el primer término se combinan una raíz, un logaritmo y una función racional (por el denominador al cuadrado). Debido a que (x – 1)² nunca es negativo, salvo en el punto x = 1 donde la función presenta una discontinuidad, el signo del primer término dependerá de ln(x² + 2) y de √(x² + 4) (este último siempre es positivo).

3. Comportamiento en x = 1  
En x = 1 el denominador se hace 0, lo que indica la posibilidad de una discontinuidad o asíntota vertical. Será necesario analizar el límite cuando x se acerca a 1 para caracterizar dicho comportamiento, pero observamos de entrada que la función no está definida en x = 1.

4. Comportamiento asintótico para |x| grande  
Para valores grandes de |x| se pueden hacer aproximaciones:  
 • La raíz: √(x² + 4) ≈ |x|,  
 • El logaritmo: ln(x² + 2) ≈ ln(x²) = 2 ln|x|,  
 • El denominador: (x – 1)² ≈ x².

Por ello, el primer término se comporta asintóticamente como:  
  (|x|/x²) · 2 ln|x| = (2 ln|x|)/|x|,  
la cual tiende a 0 cuando |x| → ∞.  
El segundo término, 11x, domina el comportamiento para |x| grande, de modo que la función tiene una especie de asíntota lineal dada por y ≈ 11x.

5. Otros aspectos a considerar  
- La función es continua y diferenciable en todo su dominio (ℝ sin x = 1), a pesar de su expresión compleja.  
- El estudio detallado de derivadas podría revelar puntos críticos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, y la existencia de posibles extremos locales, lo cual complementaría el análisis gráfico o cualitativo de f(x).

En resumen, f(x) presenta una discontinuidad en x = 1, tiene un comportamiento asintótico lineal para x → ±∞ (dominada por el término 11x) y su estructura compuesta (raíz, logaritmo y función racional) ofrece interesantes características para un estudio más profundo.
La función $$ f(x) = \frac{\sqrt{x^{2}+4}}{(x-1)^{2}} \ln(x^{2}+2) + 11x $$ tiene un dominio de todos los números reales excepto $$ x = 1 $$. En $$ x = 1 $$, la función no está definida debido a la división por cero en el denominador. Para valores grandes de $$ |x| $$, la función se comporta como una línea recta $$ y \approx 11x $$. La función es continua y diferenciable en su dominio, y su estructura compuesta (involucrando raíz, logaritmo y función racional) ofrece características interesantes para un análisis más detallado.

Po Primero, observemos la expresión d \( f(x)=\frac{\sqrt{x^{2}+4}}{(x-1)^{2}} \ln \left(x^{2}+2\right)+11 x \)

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