ให้เซต \( A=\{\emptyset, \sqrt{2}\} \) แล้วเซต \( P(P(A)) \cup P(A) \) มีสมาชิกกี่ตัว

พิจารณาเซต \(A=\{\emptyset, \sqrt{2}\}\) ซึ่งมีสมาชิก 2 ตัว จากนั้นแก้ตามขั้นตอนดังนี้ 1. **หา \(P(A)\) (เพาเวอร์เซตของ \(A\))** จำนวนสมาชิกใน \(P(A)\) คือ \(2^{|A|}=2^2=4\) โดยที่ \[ P(A)=\{\emptyset,\ \{\emptyset\},\ \{\sqrt{2}\},\ \{\emptyset,\sqrt{2}\}\} \] 2. **หา \(P(P(A))\) (เพาเวอร์เซตของ \(P(A)\))** จำนวนสมาชิกใน \(P(P(A))\) คือ \(2^{|P(A)|}=2^4=16\) 3. **พิจารณาเซต \(P(P(A))\cup P(A)\)** ต้องตรวจสอบว่า สมาชิกของ \(P(A)\) มีอยู่ใน \(P(P(A))\ หรือไม่ \\ โดยนิยาม \[ x\in P(P(A)) \iff x\subseteq P(A) \] เราตรวจสอบสมาชิกใน \(P(A)\) ทีละตัว - สำหรับ \(x=\emptyset\) เนื่องจาก \(\emptyset\subseteq P(A)\) เสมอจึง \( \emptyset\in P(P(A))\) - สำหรับ \(x=\{\emptyset\}\) เมื่อนำ \(\emptyset\) ไปตรวจสอบ จะได้ว่า \(\emptyset\in P(A)\) จึง \( \{\emptyset\}\subseteq P(A)\) และ \( \{\emptyset\}\in P(P(A))\) - สำหรับ \(x=\{\sqrt{2}\}\) สมาชิกของ \(x\) มีเพียง \(\sqrt{2}\) แต่ \(\sqrt{2}\) ไม่เป็นสมาชิกของ \(P(A)\) (เนื่องจากสมาชิกของ \(P(A)\) จะเป็นเซตย่อยของ \(A\)) ดังนั้น \( \{\sqrt{2}\}\not\subseteq P(A)\) เลยไม่อยู่ใน \(P(P(A))\) - สำหรับ \(x=\{\emptyset,\sqrt{2}\}\) สมาชิกของ \(x\) คือ \(\emptyset\) และ \(\sqrt{2}\) โดยที่ \(\emptyset\in P(A)\) แต่ \(\sqrt{2}\notin P(A)\) ดังนั้น \( \{\emptyset,\sqrt{2}\}\not\subseteq P(A)\) สรุปได้ว่า ใน \(P(A)\) มีสมาชิกที่ไม่อยู่ใน \(P(P(A))\) คือ \[ \{\sqrt{2}\} \text{ และ } \{\emptyset,\sqrt{2}\} \] 4. **หาจำนวนสมาชิกใน \(P(P(A))\cup P(A)\)** จากที่ได้ จำนวนสมาชิกใน \(P(P(A))\) คือ 16 และมีสมาชิกพิเศษใน \(P(A)\) ที่ไม่อยู่ใน \(P(P(A))\) อีก 2 ตัว ดังนั้น \[ |P(P(A))\cup P(A)|=16+2=18 \] คำตอบคือ จำนวนสมาชิกมีทั้งหมด \( \boxed{18} \) ตัว.