- $$ y=\left[\left(x^{2}+3\right)^{5}+x\right]^{2} $$

Question

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1. Definimos una función intermedia:
   $$
   u=(x^2+3)^5+x
   $$
   Entonces, la función se escribe como:
   $$
   y=u^2
   $$

2. Derivamos $$ y $$ respecto a $$ u $$ utilizando la regla de la potencia:
   $$
   \frac{dy}{du}=2u
   $$

3. Derivamos $$ u $$ respecto a $$ x $$:
   
   a) Para el primer término $$(x^2+3)^5$$, definimos:
      $$
      v=x^2+3
      $$
      y aplicamos la regla de la cadena:
      $$
      \frac{d}{dx}\left(v^5\right)=5v^4\frac{dv}{dx}
      $$
      Como:
      $$
      \frac{dv}{dx}=2x,
      $$
      se tiene:
      $$
      \frac{d}{dx}\left((x^2+3)^5\right)=5(x^2+3)^4\cdot 2x = 10x(x^2+3)^4
      $$
   
   b) La derivada del segundo término $$ x $$ es:
      $$
      \frac{d}{dx}(x)=1
      $$
   
   Así, la derivada total de $$ u $$ es:
   $$
   \frac{du}{dx}=10x(x^2+3)^4+1
   $$

4. Aplicamos la regla de la cadena para hallar $$ \frac{dy}{dx} $$:
   $$
   \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\left[10x(x^2+3)^4+1\right]
   $$
   Recordando que $$ u=(x^2+3)^5+x $$, sustituimos:
   $$
   \frac{dy}{dx}=2\left[(x^2+3)^5+x\right]\left[10x(x^2+3)^4+1\right]
   $$

Esta es la derivada de la función $$ y=\left[(x^2+3)^5+x\right]^2 $$.
La derivada de la función $$ y=\left[(x^2+3)^5+x\right]^2 $$ es: $$ \frac{dy}{dx} = 2\left[(x^2+3)^5+x\right]\left[10x(x^2+3)^4+1\right] $$

- \( y=\left[\left(x^{2}+3\right)^{5}+x\right]^{2} \)

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