- \( y=\left[\left(x^{2}+3\right)^{5}+x\right]^{2} \)

1. Definimos una función intermedia: \[ u=(x^2+3)^5+x \] Entonces, la función se escribe como: \[ y=u^2 \] 2. Derivamos \( y \) respecto a \( u \) utilizando la regla de la potencia: \[ \frac{dy}{du}=2u \] 3. Derivamos \( u \) respecto a \( x \): a) Para el primer término \((x^2+3)^5\), definimos: \[ v=x^2+3 \] y aplicamos la regla de la cadena: \[ \frac{d}{dx}\left(v^5\right)=5v^4\frac{dv}{dx} \] Como: \[ \frac{dv}{dx}=2x, \] se tiene: \[ \frac{d}{dx}\left((x^2+3)^5\right)=5(x^2+3)^4\cdot 2x = 10x(x^2+3)^4 \] b) La derivada del segundo término \( x \) es: \[ \frac{d}{dx}(x)=1 \] Así, la derivada total de \( u \) es: \[ \frac{du}{dx}=10x(x^2+3)^4+1 \] 4. Aplicamos la regla de la cadena para hallar \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=2u\left[10x(x^2+3)^4+1\right] \] Recordando que \( u=(x^2+3)^5+x \), sustituimos: \[ \frac{dy}{dx}=2\left[(x^2+3)^5+x\right]\left[10x(x^2+3)^4+1\right] \] Esta es la derivada de la función \( y=\left[(x^2+3)^5+x\right]^2 \).