(2) propongo. E Ejercito. R Razono. S soluciono problemas 3.2 (1) Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas. Justifica tu respuesta. 109. Si \( A(x, y) \) pertenece a la circunferencia unitaria entonces, el punto \( B(-y, x) \) también pertencoce la circunferencia unitaria. 110. El segmento cuyos puntos extremos son \( \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) \) y \( \left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) \), corresponde al diámetro de la circunferencia unitaria. Dibuja en la circunferencia unitaria un ángulo que quede determinado por el punto \( P \). 111. \( P(0,1) \) 112. \( P(-1,0) \) 114. \( P\left(\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right) \) 115. \( P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \) 113. \( P\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \) 116. \( P(0,-1) \)

**109.** Sea \( A(x,y) \) un punto de la circunferencia unitaria, es decir, cumple \[ x^2+y^2=1. \] Consideramos el punto \[ B(-y,x). \] Comprobamos que \( B \) también está en la circunferencia: \[ (-y)^2 + x^2 = y^2+x^2 = 1. \] Por lo tanto, la proposición es **verdadera**. --- **110.** Se dan los puntos \[ P_1\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \quad \text{y} \quad P_2\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right). \] Observamos que \( P_2 \) es el opuesto de \( P_1 \) (es decir, \( P_2 = -P_1 \)). En la circunferencia unitaria, los puntos antipodales son los extremos de un diámetro. Por ello, el segmento con extremos \( P_1 \) y \( P_2 \) es un diámetro. La proposición es **verdadera**. --- A continuación se indican, para cada punto \( P \) dado, el ángulo en la circunferencia unitaria determinado en posición estándar (medido desde el eje \(x\) positivo): **111. \( P(0,1) \)** Dado que \[ \cos \theta =0 \quad \text{y} \quad \sin \theta = 1, \] se tiene \[ \theta = \frac{\pi}{2}. \] En la circunferencia unitaria, se marca el punto superior correspondiente a \(90^\circ\). --- **112. \( P(-1,0) \)** Aquí \[ \cos \theta = -1 \quad \text{y} \quad \sin \theta = 0, \] lo cual determina \[ \theta = \pi. \] Se traza el punto en la parte izquierda de la circunferencia. --- **114. \( P\left(\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right) \)** Se tiene \[ \cos \theta = \frac{5}{13} \quad \text{y} \quad \sin \theta = -\frac{12}{13}. \] Como el coseno es positivo y el seno negativo, el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante. El ángulo agudo asociado es \[ \alpha = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) \quad \text{(o } \alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)\text{)}, \] por lo que el ángulo en posición estándar es \[ \theta = 2\pi - \alpha. \] Se dibuja el punto en el cuarto cuadrante. --- **115. \( P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \)** Aquí se observa que \[ \cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{y} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}. \] El ángulo correspondiente, en el segundo cuadrante, es \[ \theta = \frac{3\pi}{4}. \] Se marca el punto en la parte superior izquierda de la circunferencia. --- **113. \( P\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) \)** Verificamos que \[ \left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1. \] Entonces, \[ \cos \theta = \frac{2}{3} \quad \text{y} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}. \] Dado que ambos son positivos, el ángulo se halla en el primer cuadrante y se determina por \[ \theta = \arctan\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right). \] Se dibuja el punto en el primer cuadrante. --- **116. \( P(0,-1) \)** Aquí \[ \cos \theta = 0 \quad \text{y} \quad \sin \theta = -1, \] lo que implica que \[ \theta = \frac{3\pi}{2}. \] Se marca el punto en la parte inferior de la circunferencia. --- Cada uno de estos puntos define un ángulo central en la circunferencia unitaria que se puede representar dibujando el rayo desde el origen hasta dicho punto.