(2) propongo. E Ejercito. R Razono. S soluciono problemas 3.2 (1) Determina cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles falsas. Justifica tu respuesta. 109. Si $$ A(x, y) $$ pertenece a la circunferencia unitaria entonces, el punto $$ B(-y, x) $$ también pertencoce la circunferencia unitaria. 110. El segmento cuyos puntos extremos son $$ \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$ y $$ \left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right) $$, corresponde al diámetro de la circunferencia unitaria. Dibuja en la circunferencia unitaria un ángulo que quede determinado por el punto $$ P $$. 111. $$ P(0,1) $$ 112. $$ P(-1,0) $$ 114. $$ P\left(\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right) $$ 115. $$ P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$ 113. $$ P\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) $$ 116. $$ P(0,-1) $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**109.** Sea $$ A(x,y) $$ un punto de la circunferencia unitaria, es decir, cumple  
$$
x^2+y^2=1.
$$
Consideramos el punto  
$$
B(-y,x).
$$
Comprobamos que $$ B $$ también está en la circunferencia:
$$
(-y)^2 + x^2 = y^2+x^2 = 1.
$$
Por lo tanto, la proposición es **verdadera**.

---

**110.** Se dan los puntos  
$$
P_1\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right) \quad \text{y} \quad P_2\left(-\frac{3}{5},-\frac{4}{5}\right).
$$
Observamos que $$ P_2 $$ es el opuesto de $$ P_1 $$ (es decir, $$ P_2 = -P_1 $$). En la circunferencia unitaria, los puntos antipodales son los extremos de un diámetro. Por ello, el segmento con extremos $$ P_1 $$ y $$ P_2 $$ es un diámetro. La proposición es **verdadera**.

---

A continuación se indican, para cada punto $$ P $$ dado, el ángulo en la circunferencia unitaria determinado en posición estándar (medido desde el eje $$x$$ positivo):

**111. $$ P(0,1) $$**  
Dado que  
$$
\cos \theta =0 \quad \text{y} \quad \sin \theta = 1,
$$
se tiene  
$$
\theta = \frac{\pi}{2}.
$$
En la circunferencia unitaria, se marca el punto superior correspondiente a $$90^\circ$$.

---

**112. $$ P(-1,0) $$**  
Aquí  
$$
\cos \theta = -1 \quad \text{y} \quad \sin \theta = 0,
$$
lo cual determina  
$$
\theta = \pi.
$$
Se traza el punto en la parte izquierda de la circunferencia.

---

**114. $$ P\left(\frac{5}{13},-\frac{12}{13}\right) $$**  
Se tiene
$$
\cos \theta = \frac{5}{13} \quad \text{y} \quad \sin \theta = -\frac{12}{13}.
$$
Como el coseno es positivo y el seno negativo, el ángulo se encuentra en el cuarto cuadrante.  
El ángulo agudo asociado es  
$$
\alpha = \arcsin\left(\frac{12}{13}\right) \quad \text{(o } \alpha = \arccos\left(\frac{5}{13}\right)\text{)},
$$
por lo que el ángulo en posición estándar es  
$$
\theta = 2\pi - \alpha.
$$
Se dibuja el punto en el cuarto cuadrante.

---

**115. $$ P\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) $$**  
Aquí se observa que
$$
\cos \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{y} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}.
$$
El ángulo correspondiente, en el segundo cuadrante, es  
$$
\theta = \frac{3\pi}{4}.
$$
Se marca el punto en la parte superior izquierda de la circunferencia.

---

**113. $$ P\left(\frac{2}{3}, \frac{\sqrt{5}}{3}\right) $$**  
Verificamos que
$$
\left(\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}+\frac{5}{9}=1.
$$
Entonces,
$$
\cos \theta = \frac{2}{3} \quad \text{y} \quad \sin \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}.
$$
Dado que ambos son positivos, el ángulo se halla en el primer cuadrante y se determina por
$$
\theta = \arctan\left(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right)=\arctan\left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right).
$$
Se dibuja el punto en el primer cuadrante.

---

**116. $$ P(0,-1) $$**  
Aquí
$$
\cos \theta = 0 \quad \text{y} \quad \sin \theta = -1,
$$
lo que implica que  
$$
\theta = \frac{3\pi}{2}.
$$
Se marca el punto en la parte inferior de la circunferencia.

---

Cada uno de estos puntos define un ángulo central en la circunferencia unitaria que se puede representar dibujando el rayo desde el origen hasta dicho punto.
**109.** Verdadero. Si $$ A(x, y) $$ está en la circunferencia unitaria, entonces $$ B(-y, x) $$ también lo está. **110.** Verdadero. Los puntos $$ \left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) $$ y $$ \left(-\frac{3}{5}, -\frac{4}{5}\right) $$ son antipodales y forman un diámetro. **111.** $$ \theta = 90^\circ $$ (punto superior). **112.** $$ \theta = 180^\circ $$ (punto izquierdo). **114.** $$ \theta $$ en el cuarto cuadrante, calculado usando arco seno o arco coseno. **115.** $$ \theta = 135^\circ $$ (punto superior izquierdo). **113.** $$ \theta $$ en el primer cuadrante, calculado usando arco tangente. **116.** $$ \theta = 270^\circ $$ (punto inferior). Cada punto define un ángulo en la circunferencia unitaria según su posición.

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