1. triangle \( A B C \) with vertices \( A(-3,4) \), \( B(1,4) \), and \( C(3,1) \)

Para resolver el problema relacionado con el triángulo \( ABC \) con los vértices \( A(-3,4) \), \( B(1,4) \) y \( C(3,1) \), podemos realizar varios cálculos, como la longitud de los lados, el área y el perímetro del triángulo. Vamos a proceder paso a paso. ### 1. Longitud de los lados Utilizaremos la fórmula de la distancia entre dos puntos \( (x_1, y_1) \) y \( (x_2, y_2) \): \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] #### Longitud del lado \( AB \) Los puntos son \( A(-3, 4) \) y \( B(1, 4) \): \[ AB = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 4)^2} = \sqrt{(1 + 3)^2 + 0^2} = \sqrt{4^2} = 4 \] #### Longitud del lado \( BC \) Los puntos son \( B(1, 4) \) y \( C(3, 1) \): \[ BC = \sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 4)^2} = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] #### Longitud del lado \( CA \) Los puntos son \( C(3, 1) \) y \( A(-3, 4) \): \[ CA = \sqrt{(-3 - 3)^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \] ### 2. Perímetro del triángulo El perímetro \( P \) se calcula sumando las longitudes de los lados: \[ P = AB + BC + CA = 4 + \sqrt{13} + 3\sqrt{5} \] ### 3. Área del triángulo Podemos usar la fórmula del área de un triángulo dado por sus vértices \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Sustituyendo los puntos \( A(-3, 4) \), \( B(1, 4) \), y \( C(3, 1) \): \[ \text{Área} = \frac{1}{2} \left| -3(4 - 1) + 1(1 - 4) + 3(4 - 4) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -3(3) + 1(-3) + 3(0) \right| \] \[ = \frac{1}{2} \left| -9 - 3 + 0 \right| = \frac{1}{2} \left| -12 \right| = \frac{12}{2} = 6 \] ### Resumen de resultados - Longitudes de los lados: - \( AB = 4 \) - \( BC = \sqrt{13} \) - \( CA = 3\sqrt{5} \) - Perímetro \( P = 4 + \sqrt{13} + 3\sqrt{5} \) - Área del triángulo = \( 6 \) Si necesitas más información o cálculos adicionales, házmelo saber.