Fxprotele 11 Simplifier les expressions suivantes : \[ \begin{array}{l|l} A(x)=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2} & C(x)=\sin ^{4} x-\cos ^{4} x+2 \cos ^{2} x \end{array} \]

Pour simplifier l’expression \( A(x)=(\cos x+\sin x)^{2}+(\cos x-\sin x)^{2} \), commençons par développer les deux carrés. \[ (\cos x+\sin x)^{2} = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x \] \[ (\cos x-\sin x)^{2} = \cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x \] En ajoutant ces deux expressions, nous obtenons : \[ A(x) = (\cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x) + (\cos^2 x - 2\cos x \sin x + \sin^2 x) \] \[ = 2\cos^2 x + 2\sin^2 x = 2(\cos^2 x + \sin^2 x) \] Sachant que \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \), on en déduit finalement que : \[ A(x) = 2 \] Pour l'expression \( C(x) = \sin^4 x - \cos^4 x + 2 \cos^2 x \), nous reconnaissons qu'il s'agit d'une différence de carrés : \[ \sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x) \] Sachant que \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \), on peut simplifier : \[ C(x) = (\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot 1 + 2 \cos^2 x = \sin^2 x - \cos^2 x + 2 \cos^2 x = \sin^2 x + \cos^2 x \] Finalement, en utilisant encore une fois \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \): \[ C(x) = 1 \] Les expressions se simplifient donc à : \[ A(x) = 2 \quad \text{et} \quad C(x) = 1. \]