3. Reduce a un indice común los siguientes radicales a) $$ \sqrt[6]{2 a^{3} x^{2}}, \sqrt[3]{3 a^{2} b}, \sqrt{2 a} $$ b) $$ \sqrt[4]{3}, \sqrt[6]{5}, \sqrt{2}, \sqrt[8]{7} $$ c) $$ \sqrt[6]{a^{3} b}, \sqrt[3]{x^{2} y}, \sqrt{x} $$ d) $$ \sqrt[4]{a^{2} x^{3}}, \sqrt[6]{a^{3} b^{4}} $$

Question

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a) Se tiene que encontrar el mínimo común índice de los radicales.  
Los índices son 6, 3 y 2; el mínimo común múltiplo es 6.

- El primer radical ya es de índice 6:  
  $$
  \sqrt[6]{2a^{3}x^{2}}
  $$

- Para el segundo radical, $$\sqrt[3]{3a^{2}b}$$, elevamos lo que hay dentro al exponente que convierta el índice 3 en 6, es decir, lo elevamos al cuadrado:  
  $$
  \sqrt[3]{3a^{2}b} = \sqrt[6]{(3a^{2}b)^2} = \sqrt[6]{9a^{4}b^{2}}.
  $$

- Para el tercer radical, $$\sqrt{2a}$$ (índice 2), lo elevamos al exponente necesario para que el índice sea 6; como $$2 \times 3 = 6$$, se eleva al cubo:  
  $$
  \sqrt{2a} = \sqrt[2]{2a} = \sqrt[6]{(2a)^3} = \sqrt[6]{8a^{3}}.
  $$

La respuesta para (a) es:  
$$
\sqrt[6]{2a^{3}x^{2}},\quad \sqrt[6]{9a^{4}b^{2}},\quad \sqrt[6]{8a^{3}}.
$$

---

b) Para los radicales $$\sqrt[4]{3}, \sqrt[6]{5}, \sqrt{2}, \sqrt[8]{7}$$ los índices son 4, 6, 2 y 8.  
Calculamos el mínimo común múltiplo de 4, 6, 2 y 8.

- Descomponemos en factores primos:  
  $$
  4=2^2,\quad 6=2\cdot3,\quad 2=2,\quad 8=2^3.
  $$
- El MCM tendrá la mayor potencia de cada primo: $$2^3$$ y $$3^1$$.  
  $$
  \text{MCM} = 2^3\cdot 3=8\cdot3=24.
  $$

Ahora, se convierte cada radical en un radical de índice 24.

- Para $$\sqrt[4]{3}$$:  
  Elevamos al exponente $$\frac{24}{4}=6$$:
  $$
  \sqrt[4]{3} = \sqrt[24]{3^6}.
  $$

- Para $$\sqrt[6]{5}$$:  
  Elevamos al exponente $$\frac{24}{6}=4$$:
  $$
  \sqrt[6]{5} = \sqrt[24]{5^4}.
  $$

- Para $$\sqrt{2}$$ (índice 2):  
  Elevamos al exponente $$\frac{24}{2}=12$$:
  $$
  \sqrt{2} = \sqrt[24]{2^{12}}.
  $$

- Para $$\sqrt[8]{7}$$:  
  Elevamos al exponente $$\frac{24}{8}=3$$:
  $$
  \sqrt[8]{7} = \sqrt[24]{7^{3}}.
  $$

La respuesta para (b) es:  
$$
\sqrt[24]{3^6},\quad \sqrt[24]{5^4},\quad \sqrt[24]{2^{12}},\quad \sqrt[24]{7^3}.
$$

---

c) Se tienen los radicales $$\sqrt[6]{a^{3}b}$$, $$\sqrt[3]{x^{2}y}$$ y $$\sqrt{x}$$, con índices 6, 3 y 2 respectívamente.  
El mínimo común múltiplo de 6, 3 y 2 es 6.

- El primer radical ya es de índice 6:  
  $$
  \sqrt[6]{a^{3}b}.
  $$

- Para $$\sqrt[3]{x^{2}y}$$ (índice 3), lo elevamos al exponente $$\frac{6}{3}=2$$:  
  $$
  \sqrt[3]{x^{2}y} = \sqrt[6]{(x^{2}y)^2} = \sqrt[6]{x^4y^2}.
  $$

- Para $$\sqrt{x}$$ (índice 2), se eleva al exponente $$\frac{6}{2}=3$$:  
  $$
  \sqrt{x} = \sqrt[2]{x} = \sqrt[6]{x^3}.
  $$

La respuesta para (c) es:  
$$
\sqrt[6]{a^{3}b},\quad \sqrt[6]{x^4y^2},\quad \sqrt[6]{x^3}.
$$

---

d) Se tienen los radicales $$\sqrt[4]{a^{2}x^{3}}$$ y $$\sqrt[6]{a^{3}b^{4}}$$ con índices 4 y 6.  
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es 12.

- Para $$\sqrt[4]{a^{2}x^{3}}$$ se eleva al exponente $$\frac{12}{4}=3$$:  
  $$
  \sqrt[4]{a^{2}x^{3}} = \sqrt[12]{(a^{2}x^{3})^3} = \sqrt[12]{a^6x^9}.
  $$

- Para $$\sqrt[6]{a^{3}b^{4}}$$ se eleva al exponente $$\frac{12}{6}=2$$:  
  $$
  \sqrt[6]{a^{3}b^{4}} = \sqrt[12]{(a^{3}b^{4})^2} = \sqrt[12]{a^6b^8}.
  $$

La respuesta para (d) es:  
$$
\sqrt[12]{a^6x^9},\quad \sqrt[12]{a^6b^8}.
$$
Para reducir los radicales a un índice común: a) El índice común es 6: - $$\sqrt[6]{2a^{3}x^{2}}$$ - $$\sqrt[6]{9a^{4}b^{2}}$$ - $$\sqrt[6]{8a^{3}}$$ b) El índice común es 24: - $$\sqrt[24]{3^6}$$ - $$\sqrt[24]{5^4}$$ - $$\sqrt[24]{2^{12}}$$ - $$\sqrt[24]{7^3}$$ c) El índice común es 6: - $$\sqrt[6]{a^{3}b}$$ - $$\sqrt[6]{x^4y^2}$$ - $$\sqrt[6]{x^3}$$ d) El índice común es 12: - $$\sqrt[12]{a^6x^9}$$ - $$\sqrt[12]{a^6b^8}$$

Reduce a un indice común los siguientes radicales
a)
b)
c)
d)

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Reduce a un indice común los siguientes radicales a) b) c) d)