Exercice 10 On définit la suite numérique ( \( u_{n} \) ) par \[ \left\{\begin{array}{l} u_{0}=2 \\ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2} \end{array} \text { pour tout } n \text { appartenant a } N\right. \] 1 Calculer \( u_{1}, u_{2} \), et \( u_{3} \) 2 Calculer \( \frac{u_{1}}{u_{0}}, \frac{u_{2}}{u_{1}} \) et \( \frac{u_{3}}{u_{2}} \) 3. Calculer \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}} \) pour tout \( n \) appartenant a \( \mathbb{N} \). 4 Justifier que ( \( u_{n} \) ) est une suite géométrique à termes positifs dont on precisera la raison. 5. Quel est le sens de variation de \( \left(u_{n}\right) \) ?

1. Calculons les premiers termes de la suite : - \( u_{1} = \frac{u_{0}}{2} = \frac{2}{2} = 1 \) - \( u_{2} = \frac{u_{1}}{2} = \frac{1}{2} = 0.5 \) - \( u_{3} = \frac{u_{2}}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25 \) Donc, \( u_{1} = 1 \), \( u_{2} = 0.5 \), et \( u_{3} = 0.25 \). 2. Calculons les rapports : - \( \frac{u_{1}}{u_{0}} = \frac{1}{2} = 0.5 \) - \( \frac{u_{2}}{u_{1}} = \frac{0.5}{1} = 0.5 \) - \( \frac{u_{3}}{u_{2}} = \frac{0.25}{0.5} = 0.5 \) Ainsi, \( \frac{u_{1}}{u_{0}} = 0.5 \), \( \frac{u_{2}}{u_{1}} = 0.5 \), et \( \frac{u_{3}}{u_{2}} = 0.5 \). 3. Pour tout \( n \) appartenant à \( \mathbb{N} \), \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}} = \frac{\frac{u_{n}}{2}}{u_{n}} = \frac{1}{2} \). 4. La suite \( (u_{n}) \) est une suite géométrique, car chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante. Ici, la raison est \( r = \frac{1}{2} \), et tous les termes sont positifs. 5. Le sens de variation de \( (u_{n}) \) est décroissant. En effet, puisque chaque terme est obtenu en divisant le précédent par 2, la suite tend vers 0 et ne devient jamais négative.