Exercice 10 On définit la suite numérique ( $$ u_{n} $$ ) par $$ \left\{\begin{array}{l} u_{0}=2 \ u_{n+1}=\frac{u_{n}}{2} \end{array} \text { pour tout } n \text { appartenant a } N\right. $$ 1 Calculer $$ u_{1}, u_{2} $$, et $$ u_{3} $$ 2 Calculer $$ \frac{u_{1}}{u_{0}}, \frac{u_{2}}{u_{1}} $$ et $$ \frac{u_{3}}{u_{2}} $$ 3. Calculer $$ \frac{u_{n+1}}{u_{n}} $$ pour tout $$ n $$ appartenant a $$ \mathbb{N} $$. 4 Justifier que ( $$ u_{n} $$ ) est une suite géométrique à termes positifs dont on precisera la raison. 5. Quel est le sens de variation de $$ \left(u_{n}\right) $$ ?

Question

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1. Calcul des premiers termes :

- $$ u_0 = 2 $$.
   - $$ u_1 = \frac{u_0}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$.
   - $$ u_2 = \frac{u_1}{2} = \frac{1}{2} $$.
   - $$ u_3 = \frac{u_2}{2} = \frac{1}{4} $$.

2. Calcul des rapports entre deux termes consécutifs :

- $$ \frac{u_1}{u_0} = \frac{1}{2} $$.
   - $$ \frac{u_2}{u_1} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} $$.
   - $$ \frac{u_3}{u_2} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} $$.

3. Calcul du rapport $$\frac{u_{n+1}}{u_n}$$ pour tout $$ n \in \mathbb{N} $$ :

- Pour tout $$ n $$, on a $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2} $$.

4. Justification que la suite $$(u_n)$$ est une suite géométrique à termes positifs :

- La suite vérifie la relation $$ u_{n+1} = \frac{u_n}{2} $$, ce qui équivaut à
     $$
     u_{n+1} = u_n \times \frac{1}{2}.
     $$
   - Le rapport constant entre deux termes consécutifs est donc $$ \frac{1}{2} $$.
   - Comme le premier terme $$ u_0 = 2 $$ est positif et le rapport est positif, tous les termes de la suite le sont.
   - Ainsi, la suite $$(u_n)$$ est géométrique de premier terme $$ u_0 = 2 $$ et de raison $$ \frac{1}{2} $$.

5. Sens de variation de la suite $$(u_n)$$ :

- La raison $$ \frac{1}{2} $$ vérifie $$ 0 < \frac{1}{2} < 1 $$.
   - Dans une suite géométrique, si la raison $$ q $$ satisfait $$ 0 < q < 1 $$, alors la suite est strictement décroissante.
   - Par conséquent, la suite $$(u_n)$$ est strictement décroissante.
1. Calcul des premiers termes : - $$ u_0 = 2 $$ - $$ u_1 = 1 $$ - $$ u_2 = 0.5 $$ - $$ u_3 = 0.25 $$ 2. Rapports entre termes consécutifs : - $$ \frac{u_1}{u_0} = 0.5 $$ - $$ \frac{u_2}{u_1} = 0.5 $$ - $$ \frac{u_3}{u_2} = 0.5 $$ 3. Rapport $$ \frac{u_{n+1}}{u_n} = 0.5 $$ pour tout $$ n $$ 4. La suite est géométrique à termes positifs avec raison $$ 0.5 $$ 5. La suite est strictement décroissante

Exercice 10
On définit la suite numérique ( ) par

1 Calculer , et
2 Calculer et
3. Calculer pour tout appartenant a .

4 Justifier que ( ) est une suite géométrique à termes positifs dont on precisera la raison.
5. Quel est le sens de variation de ?

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Exercice 10 On définit la suite numérique ( ) par 1 Calculer , et 2 Calculer et 3. Calculer pour tout appartenant a . 4 Justifier que ( ) est une suite géométrique à termes positifs dont on precisera la raison. 5. Quel est le sens de variation de ?