Example-1: solve the following D.E? $$ y^{\prime \prime}-4 y=8 x^{2} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

$$
\textbf{المعادلة التفاضلية:} \quad y'' - 4 y = 8 x^2
$$

$$
\textbf{الخطوة 1: حل المعادلة المتجانسة}
$$
نبدأ بحل المعادلة المتجانسة المرتبطة:
$$
y'' - 4y = 0
$$
نحن نبحث عن حل بالشكل:
$$
y_h = e^{rx}
$$
ومن خلال التعويض نحصل على معادلة العوامل:
$$
r^2 - 4 = 0
$$
$$
r^2 = 4
$$
$$
r = 2 \quad \text{أو} \quad r = -2
$$
إذاً، الحل العام للمعادلة المتجانسة هو:
$$
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}
$$

$$
\textbf{الخطوة 2: إيجاد حل خاص للمعادلة الكاملة}
$$
نظرًا لأن البسط غير المتجانس $$8x^2$$ هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية، نفترض حلًا خاصًا بالشكل:
$$
y_p = Ax^2 + Bx + C
$$
سنحسب المشتقات:
$$
y_p' = 2Ax + B
$$
$$
y_p'' = 2A
$$
نعوضها في المعادلة:
$$
2A - 4(Ax^2 + Bx + C) = 8x^2
$$
نبسط المعادلة:
$$
2A - 4Ax^2 - 4Bx - 4C = 8x^2
$$
نجمع حدود الحدود المتماثلة:
$$
-4Ax^2 - 4Bx + (2A - 4C) = 8x^2 + 0x + 0
$$
نجري المقارنة بين المعاملات:
- معاملات $$x^2$$:
$$
-4A = 8 \quad \Longrightarrow \quad A = -2
$$
- معاملات $$x$$:
$$
-4B = 0 \quad \Longrightarrow \quad B = 0
$$
- الثوابت:
$$
2A - 4C = 0 \quad \Longrightarrow \quad 2(-2) - 4C = 0 \quad \Longrightarrow \quad -4 - 4C = 0 \quad \Longrightarrow \quad C = -1
$$
إذاً، يكون الحل الخاص:
$$
y_p = -2x^2 - 1
$$

$$
\textbf{الخطوة 3: الحل العام للمعادلة التفاضلية}
$$
الحل العام يكون مجموع الحل المتجانس والحل الخاص:
$$
y = y_h + y_p = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - 2x^2 - 1
$$
الحل العام للمعادلة التفاضلية $$ y'' - 4y = 8x^2 $$ هو: $$ y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} - 2x^2 - 1 $$ حيث $$ C_1 $$ و $$ C_2 $$ هي ثوابت مجهولة.

Example-1: solve the following D.E? \( y^{\prime \prime}-4 y=8 x^{2} \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Calculus Questions