5. Hitinglah \( \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \), dengan \( C:|z-5|=3 \), berorientasi positif

Untuk menyelesaikan integral kontur \( \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \) dengan \( C: |z-5|=3 \), kita perlu menganalisis singularitas dari fungsi integrand dan menggunakan Teorema Residue. ### Langkah 1: Identifikasi Singularitas Fungsi \( \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \) memiliki singularitas di \( z = 4 \) karena penyebutnya menjadi nol. Kita juga perlu memastikan bahwa \( z = 4 \) berada di dalam kontur \( C \). ### Langkah 2: Cek Posisi Singularitas Kontur \( C \) didefinisikan oleh \( |z-5|=3 \), yang berarti kontur ini adalah lingkaran dengan pusat di \( z=5 \) dan jari-jari 3. Kita dapat menghitung jarak dari pusat kontur ke singularitas: \[ |4 - 5| = 1 \] Karena \( 1 < 3 \), maka \( z = 4 \) berada di dalam kontur \( C \). ### Langkah 3: Hitung Residue Karena \( z = 4 \) adalah singularitas dari orde 3, kita perlu menghitung residue dari fungsi tersebut. Residue untuk singularitas orde \( n \) dapat dihitung dengan rumus: \[ \text{Residue} = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}} \left( (z-z_0)^{n} f(z) \right) \] Di sini, \( n = 3 \) dan \( z_0 = 4 \). Maka kita perlu menghitung: \[ \text{Residue} = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 4} \frac{d^{2}}{dz^{2}} \left( (z-4)^{3} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \right) = \frac{1}{2!} \lim_{z \to 4} \frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z) \] ### Langkah 4: Hitung Turunan Mari kita hitung turunan kedua dari \( \ln z \): 1. Turunan pertama: \[ \frac{d}{dz} (\ln z) = \frac{1}{z} \] 2. Turunan kedua: \[ \frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z) = -\frac{1}{z^{2}} \] Sekarang kita substitusi \( z = 4 \): \[ \frac{d^{2}}{dz^{2}} (\ln z) \bigg|_{z=4} = -\frac{1}{4^{2}} = -\frac{1}{16} \] ### Langkah 5: Hitung Residue Sekarang kita substitusi ke dalam rumus residue: \[ \text{Residue} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{16}\right) = -\frac{1}{32} \] ### Langkah 6: Hitung Integral Dengan menggunakan Teorema Residue, kita dapat menghitung integral: \[ \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \, dz = 2\pi i \cdot \text{Residue} = 2\pi i \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{\pi i}{16} \] ### Kesimpulan Maka, hasil dari integral kontur tersebut adalah: \[ \oint_{C} \frac{\ln z}{(z-4)^{3}} \, dz = -\frac{\pi i}{16} \]